le subtil mécanisme des éclipses de soleil en séries

La mécanique céleste organise, entre autres, les mouvements réciproques des trois corps que sont le soleil, la terre et la lune. L’âme en est la force de gravitation qui reste inexpliquée mais cette lacune n'empêche pas de comprendre les raisons qui donnent aux éclipses à la fois leur grande variété et leur régularité.

Fontenelle (1657-1757), Entretiens sur la pluralité des mondes, 1686, cité par Paul Couderc (1899-1981), in Les Éclipses, PUF 1971:
"Je suis fort étonnée, dit la marquise, qu'il y ait si peu de mystère aux éclipses...".

Et pourtant le premier mystère, ou plutôt la première coïncidence, est que, vus depuis la terre, soleil et lune ont à peu près le même diamètre apparent: la lune 400 fois plus petite que le soleil est 400 fois plus près de la terre. En fonction de la distance variable de la terre à la lune (de 56 à 63.8 rayons terrestres), le disque lunaire peut être légèrement plus grand ou légèrement plus petit que le disque solaire.

La lune est un satellite hors norme, sa masse très importante et l'inclinaison du plan de son orbite sur l'équateur terrestre permettent de considérer l'ensemble terre-lune plutôt comme une planète double. L'orbite de la lune autour de la terre est ainsi largement dépendante de l'attraction du soleil: c'est une sorte d'ellipse képlerienne dont le soleil fait varier à tout instant les caractéristiques autour de valeurs moyennes.

L'orbite géocentrique est une courbe gauche qui ne se referme pas.
Lors de la lunaison la force perturbatrice du soleil tend à réduire l'angle que fait le plan moyen de l'orbite de la lune avec l'écliptique, et ce n'est qu'au nœud que cet effet s'annule, l'angle valant alors 5.3°. Cette attraction du soleil influence encore la position des nœuds et d'autant plus qu'il en est plus éloigné: en moyenne, d'un passage de la lune à son nœud ascendant au suivant, en 27.21 jours, celui-ci a reculé de 1.44°. Ce nœud va donc à la rencontre du soleil et cette rencontre a lieu tous les 346.62 jours. On peut dire que, par rapport à la ligne des nœuds, le soleil se déplace de 360/346.62 = 1.0386° par jour.

Paul Couderc:"...un peu à la manière du fil de laine à la surface d'une pelote".

Il y a éclipse de soleil si la conjonction lune-soleil, la nouvelle lune, se produit à proximité d'un nœud.
Cette conjonction a lieu tous les 29.53 jours en moyenne. Compte tenu des diamètres apparents des deux astres, c'est pendant la période de 35 jours encadrant le nœud que l'éclipse intervient, lors de la nouvelle lune survenant pendant cette "saison d’éclipses". Ces 35 jours représentent 34.75° d'orbite.

L'ellipse osculatrice torturée.
(osculatrice = qui étreint au plus près l'orbite réelle à un instant donné).
L'astre prépondérant reste la terre et les lois de Kepler s'appliquent évidemment. La lune passe à son périgée moyen à un intervalle de 27.55 jours. La longitude de la lune obéit aux règles de l'équation du centre et dépend donc de la position du périgée et de la valeur de l'excentricité.
Mais la force perturbatrice du soleil fait varier ces deux paramètres.
Elle a pour effet d'imposer au périgée moyen un mouvement rapide de 40.7° par an (à titre de comparaison le périhélie de la terre ne décrit que 0.0033° par an).
Il en découle que tous les 103 jours environ le soleil se trouve dans la ligne d'un axe de l'ellipse osculatrice. Il est alors clair que la force perturbatrice va arrondir l'ellipse et retarder le périgée vrai si le soleil est aligné avec le petit axe, le contraire se passant lors de l'alignement avec le grand axe.

l'orbite de la lune déformée suivant la direction du soleil

Quand le soleil est aligné avec le grand axe (terre au jour 1 et terre au jour 206), l'excentricité est à son maximum de 0.065 et le périgée progresse de 0.33° par jour.
Par contre, lors de l'alignement avec le petit axe (terre au jour 103 et terre au jour 309), l'excentricité n'est plus que de 0.045 et le périgée recule de 0.22° par jour!
Quand on applique alors les formules classiques du calcul de l'équation du centre à cette ellipse déformable pour obtenir la longitude de la lune, on met en évidence une inégalité d'amplitude 1.27° et dont la période est égale à la somme algébrique:
longitude moyenne de la lune + longitude du périgée moyen - 2 fois la longitude moyenne du soleil, soit 31.8 jours.
Cela résulte directement de la mathématique de la mécanique céleste...
Cette inégalité est appelée évection par les astronomes.
Un autre effet de la force perturbatrice, la variation, est d'ovaliser globalement l'orbite en la dilatant perpendiculairement au rayon vecteur du soleil. Cette inégalité atteint une amplitude de 0.66° avec une période égale à la moitié de celle des phases lunaires, en particulier elle est nulle lors des nouvelles ou pleines lunes.
Les astronomes d'aujourd'hui ont répertorié plusieurs milliers d'inégalités de moindre effet.


La variété des éclipses provient encore de la capacité de la lune à cacher tout ou partie du disque solaire fonction de sa position sur son orbite à ce moment.
La trace sur la terre du pinceau d'ombre projeté par la lune est encore plus diversifiée du fait de la rotation terrestre et de l'inclinaison de l'axe de rotation sur l'écliptique (23.44°).

C'est donc assez compliqué mais il n'y a pas de mystère, encore qu'il n'est pas sûr que Fontenelle ait expliqué tout cela à la marquise de G***!

On constate que les éclipses se rassemblent sur 4 ans en fratries, qu'elles vivent en moyenne 1.300 ans, en se reproduisant tous les 6.585 jours, soit en moyenne 72 fois...

Le mystère s'épaissit!

Les suites courtes d'éclipses, les fratries, apparaissent ci-dessous pour la période 2014 à 2019.
En premier lieu les éclipses de soleil se produisant au nœud descendant:

avril 2014 dernière éclipse de la suite courte précédente

Cette éclipse a lieu après le nœud et assez loin de celui-ci, la prochaine éclipse à ce nœud se produira avant lui avec un mois d'avance.

mars 2015 première éclipse de la suite courte

mars 2016 deuxième éclipse

février 2017 troisième éclipse

février 2018 quatrième et dernière éclipse de la suite commençée en mars 2015

Comme celle d'avril 2014 cette éclipse a lieu loin du nœud descendant et la prochaine éclipse se produira avant lui avec un mois d'avance

janvier 2019 première éclipse de la suite suivante

Éclipses se produisant au nœud ascendant pour la même période 2014 à 2019:

octobre 2014 dernière éclipse de la suite précédente

Cette éclipse a lieu après le nœud et assez loin de celui-ci: la prochaine éclipse à ce nœud se produira avant lui.

septembre 2015 première éclipse de la suite

septembre 2016 deuxième éclipse

août 2017 troisième éclipse

juillet 2018: UN INTRUS!

Cette éclipse n'appartient pas à la suite en cours! C'est en réalité la première éclipse de la suite suivante qui intervient avant la fin de la suite en cours parce qu’elle a trouvé place avant le nœud!
Lors de cette saison d'éclipse il y aura donc 2 éclipses de soleil au nœud ascendant à un mois d'intervalle: il y a décrochage d'une lunaison.

août 2018 quatrième et dernière éclipse de la suite commencée en septembre 2015

En 12 lunaisons l'écart entre le soleil et le nœud augmente en moyenne de 12x29.53x1.0386 = 368.038° = 8.04°. Lors d'une série courte de 48 lunaisons l'amplitude atteint 32.15° ce qui est inférieur à la durée de la saison d'éclipses: il y a toujours 4 éclipses dans la suite. Mais à la lunaison précédente, la 47ème, l'écart était de 1.48° mais de l'autre coté du nœud et, selon la position initiale, il est possible qu'il se produise une éclipse en avance lors de cette 47ème lunaison.
C'est ce qui arrive en juillet 2018. La même chose était arrivé au même nœud en juillet 2000  et en juin/juillet 2011 au nœud descendant. L’occurrence du phénomène est en moyenne de 1 pour 13 passages à un nœud.

juillet 2019 deuxième éclipse de la série suivante

  
Le Saros est la périodicité qui permet de considérer une éclipse comme un phénomène qui nait, vit, se transforme et meurt!
En effet au bout de 6.585,32 jours les éclipses se reproduisent avec très peu de changement.
Le Saros compte presque exactement à la fois 223 lunaisons de 29.53 jours (6.585,32 jours), 242 mois d'éclipses de 27.21 jours (6.585.36 jours), 239 intervalles de passage de la lune au périgée moyen de 27.55 jours (6.585,54 jours) et enfin 18 intervalles de passage de la terre au périhélie de 365.2596 jours (6574.67 jours).
Il en découle qu'après un Saros, pour deux éclipses homologues, les valeurs moyennes des paramètres sont peu différentes ainsi que l'effet de la force perturbatrice du soleil: on peut considérer que la même éclipse revient presque identique à elle-même et qu'elle ne fait que se répéter au même nœud.

20 mars 2015 7h40

6585,35 jours après, 30 mars 2033 16h

Entre deux éclipses homologues il y a une légère évolution.

L'éclipse du 30 mars 2033, homologue de celle du 20 mars 2015, ne se produit pas après un nombre entier de jours ce qui a pour conséquence que l'impact sur la terre est déplacé de 0.35 jours, soit 126° vers l'ouest, de l'atlantique nord à l'Alaska.

Par ailleurs l'écart entre les 223 lunaisons (6.585,321 j) et les 242 mois d'éclipses (6.585,357 j) vaut 0.036 jours soit 52 minutes. Pendant ce temps supplémentaire la lune s'est écartée d'environ 0.4° du nœud descendant, sa latitude est donc légèrement plus élevée et l'impact sur la terre est décalé vers le nord. Ce temps supplémentaire et le décalage qui en résulte sont à la base de la notion de "suite longue" d'éclipses.

En moyenne, d'une éclipse à son homologue, la lune progresse par rapport au nœud descendant de 0.48° soit 28.6'. Or l'étendue maximale d'une saison d'éclipses est de 34.75°, on peut donc loger 34.75 / 0.48 = 72 fois le décalage moyen: voilà la suite longue d'éclipses se produisant de saros en saros au même nœud. La première des 72 est une éclipse partielle très faible car loin du nœud et concernant le pôle sud. Les éclipses suivantes augmentent de force, deviennent centrales en remontant vers l'équateur, puis sont à nouveau partielles et diminuent enfin pour ne concerner que le pôle nord et disparaître! Le processus dure en moyenne 72 saros c'est à dire environ 1.300 ans.
Il en est de même pour les suites longues se produisant au nœud ascendant, les éclipses commençant alors au pôle nord et se terminant au pôle sud.

Jean Meeus, éminent expert en la matière, signale ainsi (Éphémérides Astronomiques 2015 publiées par la Société Astronomique de France) que l'éclipse du 20 mars 2015 appartient, avec le numéro 60, à la suite longue qui a commencé le 27 mai 923 et qui finira le 7 juillet 2195 après 71 éclipses qui se répartissent pendant ces 1262 ans en 7 éclipses partielles intéressant l’hémisphère sud puis 55 éclipses totales et enfin 9 éclipses partielles concernant l'hémisphère nord.

Pendant la durée d'un saros il se produit 19 saisons d'éclipses de soleil à chaque nœud, ce qui génère en moyenne 21 éclipses et, à un instant donné, il y a donc 21 suites longues de chaque nœud en cours. On assiste donc à la mort et à la naissance d'une suite longue de chaque nœud à intervalles de 60 ans en moyenne.

Ces admirables mécanismes sont-ils le fruit du hasard ou la conséquence de la gravitation universelle?

Décidément, la marquise de G***  a du être incomplètement informée...

Theodor von Oppolzer (1841-1886) astronome autrichien, mathématicien exceptionnel, s'est adjoint une dizaine de calculateurs pour établir un canon d'éclipses couvrant la période allant de -1207 à 2161. Plus de 8.000 éclipses de soleil ont été ainsi calculées. Compte tenu des moyens de l'époque trois points seulement de la trace sur la terre de chaque éclipse purent être déterminés et c'est le cercle passant par ces trois points qui a été retenu comme trace complète.
Malheureusement Oppolzer n'a pas eu entre les mains l'édition de son œuvre, seulement les épreuves... sur son lit de mort! Son livre est paru en 1887.

Jean Meeus et ses collègues ont repris ces calculs en 1966 puis encore en 1983 et encore en 2006...

Oppolzer (1887) les éclipses de soleil 2008-2030

Meeus et collègues (1966) les mêmes éclipses

 

l'éclipse totale de soleil du 20 mars 2015

En 2015 les saisons d'éclipses commencent à la mi mars et début septembre.

Lors de la première saison la lune éclipse totalement le soleil le 20 mars puis est éclipsée totalement par l'ombre de la terre le 4 avril. Ensuite, lors de la deuxième saison, la lune éclipse partiellement le soleil le 13 septembre et est éclipsée totalement par l'ombre de la terre le 28 septembre.
L'Europe bénéficiera des belles éclipses de soleil du 20 mars et de lune du 28 septembre.

Pour des renseignements sur le phénomène des éclipses de soleil et de lune on pourra lire les articles du présent blog publiés les 11 et 12 avril 2014 "les éclipses du printemps 2014" et "l'éclipse de soleil du 29 avril 2014 vue de l'espace".

La géométrie de l'éclipse de soleil du 20 mars 2015:

7h40 UTC, l'éclipse va commencer

Le 20 mars à 7h40 UTC plaçons nous sur l'axe terre-soleil face à la terre.

Nous sommes à quelques heures seulement du passage de la terre à l'équinoxe qui marque le début du printemps et nous voyons donc à la fois les pôles nord et sud. La ligne noire en tireté représente l'écliptique sur laquelle la terre se déplace à la vitesse de 107.000 km/h (et notre observatoire provisoire aussi...).
La lune a une latitude positive et se dirige vers son nœud descendant qui est assez éloigné et qu'elle n'atteindra que dans 18h le 21 mars à 2hUTC. Il n'y aura donc éclipse totale que dans la partie supérieure de l'hémisphère nord.
La distance terre-soleil est dans la moyenne. La lune, elle, est passée la veille, le 19 mars à 20h au périgée, elle est donc particulièrement proche de la terre à 358.000 km et son diamètre apparent, 33.4", dépasse donc sensiblement celui du soleil, 32.1": l'éclipse sera totale pour quelques zones privilégiées situées dans les latitudes élevées: entre 50° et 90° et elle sera partielle en Afrique de l'ouest et du nord, en Europe et en Sibérie.

Le disque grisé représente la section dans le plan de la terre du cône que forme la pénombre autour de l'ombre proprement dite de la lune, son rayon est de 3420 km, soit 54% de celui de la terre. L'ombre proprement dite, là où le soleil est caché, est elle-même un cône dont le sommet se trouve au delà de la terre, à une distance de 13.800 km. Le disque impact de ce cône sur le plan de la terre, dessiné en gris foncé, a un rayon voisin de 75 km. La tache d'ombre sur la terre aura une forme approchée d'ellipse dont le petit axe vaudra environ 150 km. En raison du caractère presque rasant du cône d'ombre le grand axe est bien plus grand et variera entre 400 km et 500km.

Les cônes d'ombre et de pénombre, vus du soleil se déplacent à une vitesse de 3.700 km/h par rapport à la terre, sur la ligne rouge qui représente la projection de la trajectoire de la lune.
Le premier contact  du cône de pénombre avec la terre se produit en un point situé au nord des îles du Cap Vert, au lever du soleil, et l'éclipse prendra fin quatre heures et dix minutes plus tard, au dernier contact, au coucher du soleil, en un point proche du lac Baïkal en Sibérie, à 11.500 km à vol d'oiseau. La terre tourne pendant l'éclipse et la tache d'ombre sur la terre se trouve donc "ralentie" par la composition des deux mouvements lors du maximum de l'éclipse: sa vitesse est alors voisine de 3.400 km/h.

7h40 UTC, la terre vue depuis le zénith de Sion

 Le cône d'ombre et son sommet sont bien visibles ici. Compte tenu de l'énormité relative de la distance soleil-lune le cône de pénombre est très voisin d'un cylindre.

8h22 UTC, l'éclipse partielle commence à Paris et à Sion

9h13 UTC, l'éclipse totale commence dans l'atlantique nord

9h41 UTC, l'ombre atteint les îles Féroé: il y fait nuit pour 2 minutes

10h18 UTC, le cône d'ombre de la lune quitte la terre près du pôle nord

10h42 UTC, l'éclipse partielle prend fin à Sion, après Paris

11h50 UTC, le cône de pénombre quitte la terre . l'éclipse est terminée

  

Quinze jours plus tard la lune va payer son audace et passera dans l'ombre de la terre, mais cela se produira vers midi UTC: l'éclipse de lune ne sera visible que dans les zones proches du Pacifique.

La carte générale de l'éclipse du 20 mars apparait ci-dessous:

carte de l'éclipse du 20 mars, vue de l'espace, position à 7h40 UTC

La bande comprise entre les deux arcs courbes en rouge qui vont du nord-est de terre-Neuve au pôle nord représente la zone dans laquelle l'éclipse est totale: elle passe par les îles Féroé.

La ligne rouge qui va des îles du Cap Vert à Irkoutsk est la limite sud de visibilité de l'éclipse partielle.

La poche rouge encore dans la nuit, est la zone où on ne peut assister au début de l'éclipse mais où, du fait de la rotation terrestre, on en verra une partie et jusqu'à la fin. A Terre-Neuve, par exemple, le soleil se lèvera alors qu'il est déjà partiellement éclipsé, vers 9h40 UTC et l'éclipse se terminera à 9h58 UTC.

La poche rouge déjà au soleil est la zone où on assistera bien au début de l'éclipse partielle mais où on n'en verra pas la fin car le soleil se couchera avant: c'est le cas de la ville d'Irkoutsk près du lac Baïkal où l'éclipse commencera à 10h30 UTC, le soleil encore partiellement éclipsé se couchant vers 11h19 UTC.

Les figures ci-dessous rendent compte du déroulement de l'éclipse vu de l'espace avec le soleil à droite dans la direction indiquée par le rayon de soleil en jaune qui frappe le terre à son zénith local. La ligne courbe en pointillés rapprochés gris représente la trace du cône de pénombre sur la surface terrestre.

17 minutes après son début l'éclipse partielle atteint Gibraltar

 

8h22 UTC, l'éclipse partielle est visible à Sion et à Paris

 

9h16 UTC, l'éclipse totale est commencée dans l'atlantique nord

 

9h41 UTC, les îles Féroé sont dans la nuit pour 2 minutes

10h14 UTC, la tache d'ombre de la lune va quitter la terre

  

10h42 UTC, l'éclipse partielle prend fin à Sion après Paris

11h23 UTC, l'éclipse ne concerne plus que la Sibérie

panorama de l'éclipse vue à Sion (CH)

Le 20mars 2015 la lune traverse le chemin du soleil en lui passant par dessus...

A la saison d'éclipses de septembre 2015 la lune éclipsera encore le soleil le 13 du mois mais ce sera une éclipse partielle et le phénomène aura alors lieu à l'autre nœud lunaire, et sensiblement avant que la lune ne passe à ce nœud ascendant. Cette éclipse sera donc visible dans les hautes latitudes de l’hémisphère sud .

Jean Meeus, éminent spécialiste en la matière, signale que l'éclipse du 20 mars 2015 appartient à la suite longue de Saros qui a commencé avec l'éclipse du 27 mai 993 et se terminera avec celle du 7 juillet 2195, avec 71 éclipses de soleil en tout...(Éphémérides Astronomiques 2015 publiées par la  Société Astronomique de France).

Cette éclipse du 20 mars 2015 est aussi tête de série de la suite courte de huit éclipses qui se terminera avec l'éclipse du 11 août 2018, la suite courte suivante débutant le 13 juillet 2018 avant même la fin de la précédente...

carte de l'éclipse annulaire du 1 avril 1764, "Abrégé d'astronomie" Lalande

L'éclipse du 1er avril 1764 étudiée par Lalande présente des points communs avec celle du 20 mars 2015 mais elle s'est produite au nœud ascendant et ne fait pas partie de la même suite longue de Saros. Sa prochaine éclipse homologue sera l'éclipse annulaire du 1er septembre 2016.

l'éclipse du 1er septembre 2016, 14 saros après celle du 1er avril 1764

 Le ballet des trois corps, soleil, terre et lune est à la fois bien réglé et plein de variété!

éclipse du 20 mai 2012 vue du satellite japonais Hinode (Jaxa Nasa Esa)

le cadran de temps sidéral

"La nuit dispensait ses trésors. Dans le ciel chaque étoile avait pris sa place avec la même exactitude que dans une carte sidérale.
...
Dans le silence des arbres à peine distinct de celui des étoiles, ils vécurent une nuit du monde dans sa privauté sidérale et la révolution de la planète, son orbe enthousiasmante, parut gouverner l'harmonie de leurs gestes les plus familiers."

 Julien Gracq (1910-2007), Au château d'Argol, 1938.

On ne peut mieux définir le terme "sidéral": le temps sidéral n'est pas celui de l'homme mais celui de la terre sur son orbite parmi les étoiles.

Qui veut comprendre la marche des étoiles doit en devenir familier.

Plus prosaïquement le temps sidéral est le repère de la position du globe terrestre par rapport aux étoiles dans sa révolution autour du soleil. A tout moment il mesure en un lieu donné l'écart angulaire entre le méridien et la direction choisie comme origine par les astronomes. Cette direction est celle du point vernal, point dans l'espace où se croisent l'équateur céleste et l'écliptique: le soleil y passe le premier jour du printemps (d'où son nom car le terme latin pour cette saison est "ver").
On appelle aussi ce point le point gamma car le dessin de la troisième lettre de l'alphabet grec est le symbole de la constellation du bélier qui commençait avec le point vernal dans l'antiquité.

Le temps sidéral est donc un angle, compris entre 0° et 360°, mais compté en 24 heures par les astronomes, et c'est la raison pour laquelle on parle de temps et non pas d'angle.
En une journée de 24h le temps sidéral augmente d'un peu plus de 24h puisque la terre se déplaçant sur son orbite d'environ 1° (360°/365.256), elle doit rattraper ce décalage pour se retrouver en face du soleil. Chaque jour le temps sidéral augmente donc de 24h/365.256 soit 3m56s. Lorsqu'il dépasse 24 h on repart à zéro.

La référence en la matière est le temps sidéral de Greenwich qui est égal à 0h0m le 21 septembre 2015 à 12h TU (à cet instant à Greenwich le point vernal passe plein sud). Il vaut 6h le 22 décembre, 12h le 23 mars et 18h le 22 juin.

A quoi sert le temps sidéral?
De tout temps les astronomes ont cartographié le ciel en mesurant d'une part la distance angulaire de l'étoile au point gamma, c'est son ascension droite, RA en anglais, comptée en heures, et d'autre part sa déclinaison par rapport à l'équateur. Des catalogues de plus en plus complets ont ainsi été dressés.
Pour organiser l'observation d'un astre catalogué, même invisible à l’œil nu, il suffit donc de connaître le temps sidéral du lieu, TS, et d'en retrancher son ascension droite pour savoir de quel angle, AH, il faut tourner le télescope à partir du méridien: c'est la relation AH = TS - RA
Jusqu'à l'ordinateur c'était la seule méthode. Aujourd'hui ces calculs ont été rendus automatiques.

Le soleil peut indiquer le temps sidéral.
En effet, si son ascension droite n'est pas accessible directement, elle est reliée à sa déclinaison d par la relation sin(RA) = tan(d)/tan(obli) et sur un cadran solaire l'arc diurne décrit par le point solaire dépend de cette déclinaison et de l'angle horaire. En dessinant un tracé adapté on pourra donc faire désigner par le point solaire la valeur du temps sidéral.

La projection du grand cercle de l'écliptique sur le plan du cadran depuis le sommet du style est une droite qui passe par le point solaire et qui coupe l'équinoxiale du cadran au point gamma projeté (ou à son opposé). C'est ce point qui est l'indicateur du temps sidéral.

Pour construire la ligne sidérale il faut, par exemple, connaître un point et un angle.
Sur un cadran horizontal, pour chaque valeur du temps sidéral, l'angle cherché sera l'azimut des points de l'écliptique situés sur l'horizon et le point utile pourra être celui situé sur la ligne de midi où l'angle horaire est nul.

Tous calculs faits, l'azimut cherché A est donné par la formule: tan(A) = (cos(l).cos(obli)+sin(l).sin(obli).sin(TS))/(sin(obli).cos(TS)).

A midi, l'angle horaire est nul et le temps sidéral est égal à l'ascension droite du soleil qui se calcule par la formule rappelée ci-dessus. On a donc sin(TS) = tan(d)/tan(obli): à toute valeur du temps sidéral correspond une déclinaison. Il est facile de construire le point de la ligne de midi correspondant dont l'ordonnée est donnée par la formule classique y = L.cos(d)/cos(l-d) où L est la longueur du style polaire.

cadran horizontal de temps sidéral

En vert la ligne sidérale, le temps sidéral indiqué par la position du point gamma sur l'équinoxiale est environ 20h20m.

Les lignes sidérales sont symétriques et tangentes aux hyperboles des arcs diurnes des solstices.
Elles se coupent sur les lignes horaires et demi-horaires et les arcs diurnes correspondants aux 12 heures sidérales rondes passent par leurs points d'intersection.
Ces arcs diurnes ne coïncident pas avec ceux figurant habituellement sur les cadrans solaires qui correspondent, eux, aux multiples de 30° de longitude et dont la déclinaison est donnée par la formule sin(d) = sin(obli)*sin(lon) au lieu, ici, de la formule tan(d) = sin(RA).tan(obli), longitude et ascension droite étant liées par la relation tan(RA) = cos(obli).tan(lon). - Ce sont là les arcanes de la trigonométrie sphérique -...
Le cadran horizontal est difficile à lire au voisinage du solstice d'été mais on peut lui adjoindre un cadran vertical pour pallier cet inconvénient.

Ce cadran, outre le temps sidéral, donne des renseignements sur l'écliptique dessiné en vert sur la figure. La ligne sidérale donne la direction du point de celui-ci qui se lève ou se couche. L'azimut du point gamma, situé sur la droite équinoxiale, est égal à l'angle que fait la droite joignant ce point au pied du style avec la ligne de midi. On peut ainsi placer à tout instant dans le ciel ce fameux point de l'équateur céleste qu'aucune étoile proche n'aide à localiser, à la différence du pôle nord.

Mais il faut encore prendre en compte que la terre obéit aux lois de Kepler et ne se meut pas régulièrement autour du soleil et encore que son orbite est de biais par rapport à l'équateur céleste. Le point solaire du cadran ne résulte donc pas d'un mouvement uniforme, le seul qui concerne les étoiles et l'écoulement du temps sidéral.
Par essence le cadran solaire de temps sidéral ne donne qu'un résultat brut faussé par l'équation du temps.

Un résultat correct sera obtenu en décalant le point solaire sur l'arc diurne de la valeur de l'équation du temps. C'est à partir de ce nouveau point imaginaire qu'il faut tirer la ligne sidérale.
Reste à savoir dans quel sens!
On a dessiné dans le haut de la figure ci-dessous la courbe indiquant la valeur de l'équation du temps, en rouge pour le semestre allant du solstice d'été au solstice d'hiver et en bleu pour l'autre semestre.
Par ailleurs on a dessiné en rouge les lignes 12h, 13h et14h de temps sidéral car elles ne concernent que le semestre rouge et en bleu les lignes 22h, 23h et 24h (ou 0h) qui ne concernent que le semestre bleu.
La ligne à tracer devra faire partie de la famille dont la couleur est celle du jour.
Il faudra alors retenir la graduation horaire de la bonne couleur sur la droite équinoxiale et interpoler le temps sidéral suivant la position du point gamma (ou de son opposé).

 

cadran rectifié avec équation du temps

 Avec la correction de l'équation du temps la nouvelle valeur du temps sidéral est 20h10m.

On a fait figurer en pointillé vert la projection du lieu du point culminant de l'écliptique appelé nonagésime puisqu'à 90° des points de l'écliptique qui se trouvent sur l'horizon. Ce point noté N décrit dans l'espace une courbe gauche et ses coordonnées LN et lN sont données par:
tan(LN) = (cos(obli).sin(TS)+sin(obli).tan(l))/cos(TS) et cos(lN) = cos(obli).sin(l)-sin(obli).cos(l).sin(TS).
Ces formules placent à tout instant le zodiaque dans le ciel et ont servi aux astrologues.

Paris, Lycée Louis Le Grand, la tour des cadrans

dans la partie basse le cadran de temps sidéral

 (photos de l'association des Amis du musée scientifique du Lycée Louis Le Grand, Paris, rue Saint jacques).

Le tracé des lignes sidérales semble sujet à caution car elles apparaissent presque parallèles entre elles ce qui n'a pas lieu d'être. Cette anomalie serait le fait de restaurations successives menées par quelques incompétents.
Dans une note de 1991 publiée par la Société Astronomique de France, Madame A. Gotteland et G. Camus ont recalculé et redessiné le cadran.
Les auteurs précisent qu'il s'agirait là du seul cadran ancien de temps sidéral en France!

l'heure à Babylone, en Italie...et ailleurs

Dans une journée un instant est caractérisé par un décompte à partir d'une origine.
La division de la journée en 12 heures pour le jour et 12 pour la nuit remonte à l'invention de la numération. Ce nombre est tellement bien adapté à une découpe en 2, 3, 4 ou 6 parties!
Mais où fixer le début de la journée?
A Babylone et en Égypte la journée commence au lever du soleil. L'heure vulgaire est alors temporaire, c'est à dire de durée physique variable suivant la saison: le jour, d'une part, et la nuit, d'autre part, sont partagés en douze heures. L'heure savante, mesurée par une clepsydre, est, elle, bien égale à un vingt-quatrième de la journée.
Chez les Grecs et les Romains la journée commence au coucher du soleil.
Pour les astronomes les notions de lever et coucher sont trop vagues: ils retiennent comme origine midi, moment bien précis de la culmination du soleil. Une échelle de dates imaginée par Julius Scaliger (1540-1609) toujours employée de nos jours en astronomie et astronautique a comme origine le 1er janvier de l'année 4713 avant J.C. à 12h.
La norme mondiale fait maintenant commencer la journée civile à minuit, encore que chez les anglo-saxons on parle d'heure ante ou post meridiem!

Depuis l'Antiquité et jusqu'aux horloges à balancier du XVII ème siècle c'est le soleil qui donne l'heure. Le décompte des heures de Babylone ou de Rome figure donc sur les cadrans solaires.
Bien entendu, le soleil (ni aucune étoile) ne se lève (ni ne se couche) au même moment de la journée d'un jour à l'autre. Mais considérons l'"empreinte" de l'horizon sur la sphère céleste à l'instant du lever du soleil un certain jour. A cet instant, selon la saison, il se place à une certaine position sur cette empreinte. Une heure après le lever l'empreinte aura tourné, elle occupera une autre position sur la sphère céleste mais contiendra encore le soleil. Il en sera de même pour tous les astres qui à l'instant du lever se trouvaient sur l'empreinte de départ. Ce serait aussi le cas pour le soleil si sa déclinaison avait été différente. Autrement dit, une heure après son lever, le soleil se trouve toujours sur le grand cercle de la sphère céleste qui porte l'empreinte de départ Sa projection depuis le centre sur un plan quelconque sera toujours située sur celle de ce grand cercle qui est une droite passant par le centre de la sphère.
Sur le cadran solaire l'heure babylonique est donc une droite oblique désignée par le rayon du soleil qui passe par le sommet du style.

le grand cercle de la première heure babylonique et sa projection

Il reste à trouver un procédé pour dessiner ces droites.
A l'équinoxe le soleil se lève à 6h et décrit l'équateur céleste: heure classique et heure babylonique coïncident. Les lignes horaires se croisent donc sur la ligne équinoxiale: voilà un premier point.
Un deuxième point peut être obtenu graphiquement par des procédés relevant de la géométrie descriptive encore enseignée en classes de mathématiques supérieures dans les années 60. Aujourd'hui on peut préférer le calcul trigonométrique d'un point tel que celui correspondant au solstice d'hiver.

L'analyse des propriétés de ces lignes babyloniques donne des résultats remarquables.

cinquième heure babylonique et cadran horizontal

La figure représente la sphère céleste 4 heures après le lever du soleil. Le plan du grand cercle de l'empreinte de l'horizon sur la sphère fait avec l'axe polaire un angle constant égal à la latitude. L'axe du grand cercle perce donc la sphère en un point P qui décrit le cercle dessiné en pointillé bleu. Ce cercle passe par le zénith.
On peut considérer le point P comme un astre et calculer son azimut par la formule classique avec des notations évidentes:
tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(l) - tan(d)cos(l)).
La déclinaison est ici égale à pi/2 - l et on obtient:
tan(A) = sin(H)/(sin(l)(cos(H) - 1)) ou encore tan(A) = sin(H)/(sin(l)(- 2sin^2(H/2))) ce qui s'écrit tan(A) = - cotan(H/2)/sin(l).
L'azimut A' des points C1 et C2 qui caractérise l'heure babylonique diffère de celui du point P de pi/2. On obtient donc la relation
tan(A') = - sin(l)tan(H/2).
Cette formule est celle qui donne l'angle tabulaire d'une ligne horaire sur un cadran horizontal. On a dessiné dans la partie nord de la figure les lignes horaires du cadran horizontal: ces lignes sont parcourues par la droite babylonique à une vitesse égale à la moitié de celle du soleil. On verra plus loin quel parti en tirer.

Le grand cercle "empreinte" de l'horizon au lever du soleil a son réciproque pour le coucher du soleil. Celui du lever évolue de l'est vers l'ouest et, si on compte à rebours le temps qui reste avant le coucher du soleil, l'empreinte relative au coucher évolue de l'ouest vers l'est. Sa projection est la ligne italique.
Les plans des grands cercles des "empreintes" enveloppent un cône dont le sommet est le centre de la sphère, l'axe, celui des pôles et dont le demi angle au sommet est la latitude. Les rayons du soleil tangents à ce cône définissent deux droites. Ces génératrices représentent dans l'espace, à un instant donné, les lignes indiquant l'angle horaire qui sépare cet instant du lever du soleil d'une part et de son coucher d'autre part. Les projections de ces droites sont les lignes des heures babyloniques et italiques.

4ème heure babylonique, la génératrice OT du cône est la ligne babylonique

4ème heure italique, la génératrice OT' du cône est la ligne italique

Les lignes des heures babyloniques et italiques de même valeur sont symétriques les unes des autres par rapport au plan méridien et elles se croisent dans ce plan lors des jours où la durée de l'ensoleillement est un nombre entier d'heures.

vues de dessus, en bleu les lignes babyloniques, en rouge les italiques

La figure ci-dessous présente la projection d'une ligne babylonique sur un plan vertical méridional. La génératrice du cône touche ce plan en K, le rayon solaire passant par l'extrémité du style le touche au point solaire S et, pour le cadran solaire méridional, la ligne babylonique est la droite KS. Cette ligne est tangente à la conique intersection du cône et du cadran. 
La conique est tangente à la ligne de l'horizon et ses caractéristiques se calculent aisément: si h est la longueur du style droit, son grand axe vaut h(tan(2 x l)) et son excentricité tan(l).
C'est une ellipse si la latitude est inférieure à 45° et une hyperbole si elle est supérieure. Pour la latitude 45° c'est une parabole.

ligne babylonique 5 pour cadran vertical méridional

ligne italique 5 pour cadran vertical méridional

Ci-dessous dessin complet:

lignes babyloniques et italiques sur cadran vertical méridional

Le tracé des lignes babyloniques et italiques sur un cadran horizontal est tout à fait semblable. La conique est alors toujours une parabole et chaque ligne est parallèle à une ligne horaire.

 

la sixième ligne babylonique est parallèle à la ligne horaire de 15h

Les cadrans solaires présentant les heures babyloniques et italiques donnent beaucoup d'indications d'ordre astronomique sur la marche du soleil en un lieu donné même si "la plupart des curieux les parcourent du regard en se résignant à ne rien comprendre à la signification de leurs lignes" (René R.J. Rohr Les cadrans solaires Oberlin).

cadran vertical classique, babylonique et italique

Sur le cadran ci-dessus dont la déclinaison gnomonique est de 20° vers l'est on note que les lignes babyloniques bleues et italiques rouges se croisent ensemble et avec les lignes classiques grises à chaque heure ronde. Elles se croisent seules aux demi-heures. Les points de croisement dessinent les arcs diurnes relatifs aux jours où la durée de l'ensoleillement est une valeur entière et paire pour les croisements triples et entière et impaire pour les doubles.
A un instant donné le point solaire indique par interpolation les heures babylonique et italique approchées. On en déduit le temps écoulé depuis le lever du soleil et donc l'heure de son lever et le temps qu'il reste avant son coucher, donc aussi l'heure de son coucher.

une latitude particulière à une vingtaine de km au nord de Paris

Sur le parallèle qui passe une vingtaine de km au nord de Paris les lignes babyloniques et italiques se croisent sur les arcs diurnes des solstices et la durée de l’ensoleillement du jour du solstice d'été est deux fois celle du jour du solstice d'hiver.

Les heures italiques ont été très employées en Europe orientale, notamment à Prague.

château des Lobkowicz à Melnik

 Konrad Rauchfuss dit Dasypodius (1530-1600), mathématicien suisse installé en Alsace, concepteur en 1580 de la seconde horloge astronomique monumentale de la cathédrale de Strasbourg, aurait construit des cadrans pour régler son œuvre...Sur la partie droite les heures babyloniques (ab ortu) et italiques (ab occasu).

cathédrale de Strasbourg, les cadrans de Dasypodius

 Pour mettre en application les propriétés angulaires des lignes babyloniques et italiques on peut construire un cadran dont le style est un double cône axé sur les pôles, les deux cônes ayant un angle au sommet égal au double de la latitude.

double cadran classique, babylonique et italique

Le sommet commun aux deux cônes donne le point solaire à l'entrecroisement des ombres. Ce point donne l'heure normale et les heures babylonique et italique sont désignées par les lignes ombre-soleil.

Sur l'un et l'autre plan figurent les lignes babyloniques en bleu et les italiques en rouge. Les lignes du plan horizontal enveloppent une parabole et celles du plan vertical une hyperbole, la latitude dépassant ici 45°. Les lignes en gris sont les lignes horaires classiques.



Henri Bouasse (1866-1953), bouillant professeur de physique à la Faculté des Sciences de Toulouse auteur d'une Bibliothèque Scientifique en 45 volumes, note en 1918 dans son 44 ème tome "Astronomie théorique et pratique" (dont la préface s'intitule " De la manière d'enseigner les sciences inutiles"!):

"Ils n'auront que mépris pour les cadrans solaires qui ne servent plus, c'est entendu, mais qui, outre leur rôle social évident pendant de longs siècles, sont un excellent exercice pour l'étudiant qui ne se complait pas dans le bafouillage grandiloquent.
Pour Dieu! commencez donc par savoir la théorie des cadrans solaires! Vous parlerez ensuite de l'histoire des doctrines astronomiques, si ça vous amuse!
Commencez donc par le commencement; c'est de beaucoup le plus difficile."

Cité par D. Savoie in Les cadrans solaires, Belin, 2003.