un soleil capricieux

C'est l'une des milliards d'étoiles que compte notre Voie Lactée, qui n'est elle même que l'une des milliards de galaxies de l'univers. Son diamètre vaut cent fois celui de la terre et sa masse 330.000 fois la sienne. La masse de la planète bleue représente plus de mille milliards de fois celle de toute l'humanité et toi, lecteur, tu es à peine plus que le dixième du milliardième de cette humanité...

Nous sommes les "Enfants du Soleil" selon l'astronome André Brahic (1942/2016) et il nous aura fallu plus de quatre milliards d'années pour sortir de l'enfance. Aujourd'hui, si le soleil laisse notre planète subir les humeurs de ses habitants, il en gouverne encore l'orbite selon des lois (quasiment!) immuables. Le long de cette trajectoire elliptique décrite en 365.2422 jours à vitesse non uniforme, la terre tourne sur elle-même autour d'un axe polaire incliné de 23.44° sur l'orbite, cet axe étant lui-même animé d’une lente rotation complète en 26.000 ans. Vu depuis la terre tout cela fait quelque fois apparaitre un comportement capricieux attribué au soleil.

Johannes Kepler (1571/1630) a découvert en 1609, après de nombreuses années de calculs difficiles, que la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le soleil est un foyer et qu'elle parcourt son orbite de telle façon que la surface balayée par le rayon qui la joint au soleil soit proportionnelle au temps (surfaces égales pendant des temps égaux).

C'est la loi des aires induite par la gravitation universelle, phénomène encore mystérieux. Voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler" en date du 01/05/2014.

la loi des aires en quatre figures

En haut à gauche, en rouge, la surface balayée par la planète pendant un temps donné "t" depuis le périhélie. Soit a le grand axe de l'orbite, b son petit axe, e son excentricité (e = rac(1 - b^2 / a^2)). La distance du soleil au centre de l'orbite vaut a * e.
Le point T ' va donner la solution du calcul permettant de relier la position de la planète, c'est à dire la valeur de l'angle en rouge ayant pour sommet le soleil, au temps t (cet angle V a été désigné par Kepler par le terme "anomalie" qui veut dire "irrégulier").
En effet, la surface en rouge est proportionnelle à la surface en jaune de la figure du haut à droite, leur rapport étant égal à celui de la surface de l'ellipse à celle du cercle, soit à celui du petit axe au grand axe: b / a.
La figure du bas à gauche montre que cette surface en jaune est facile à calculer: c'est la différence entre le secteur circulaire périhélie / T 'et le triangle en bleu. L'angle du secteur a été appelé "anomalie excentrique", il est désigné ici par "E".

On a  donc:
surface jaune = (pi * a^2) E / (2pi) - (a * e) . (a * sin(E)) / 2 = (a^2 / 2)(E - e * sin(E)) et surface rouge = (a * b)(E - e * sin(E)) / 2.
La surface complète de l'orbite vaut pi * a * b. Appelons "A" le temps mis par la planète pour balayer toute son orbite. Pendant le temps t la planète a donc parcouru une fraction de sa révolution égale à : (t / A) = (E - e * sin(E)) / (2pi).
On a donc l'équation E - e * sin(E) = t * (2pi / A). C'est l'équation de Kepler.
Elle est transcendante puisque figurent en même temps l'angle E et son sinus. C'est la première équation de ce type apparue historiquement dans les mathématiques.
La quantité t * (2pi / A) est l'angle qui serait parcouru par la planète pendant le temps t si elle se mouvait régulièrement, on l'appelle anomalie moyenne (ce qui constitue un oxymore!). On la désigne couramment par "M".

E = M + e * sin(E)

Ayant ainsi mis en équation la loi des aires en exprimant l'anomalie excentrique E en fonction du temps, il faut encore relier cette anomalie excentrique à l'anomalie (vraie), qui est le but du calcul.
La figure du bas à droite montre que ce n'est pas un exercice de géométrie difficile en partant des coordonnées de la terre dans le repère xOy. On obtient les relations suivantes:
cos(V) = (cos(E) - e)/(1 - e * cosE),    sin(V) = (b/a) * sin(E)/(1- e * cos(E)) et    tan(V) = sin(E) * rac(1 - e^2) / (cos(E) - e).
Au passage, on obtient la longueur du rayon vecteur soleil-terre: r = a * (1-cos(E)).
Une cuisine trigonométrique donne la formule classique reliant les tangentes des angles-moitié:
tan(V / 2) = rac((1 + e) / (1 - 2)) * tan(E / 2). Cette formule était importante car elle permet d'obtenir un développement en série de V en fonction de E.

Le problème considérable qui  reste est de résoudre l'équation de Kepler dont la solution ne peut pas être trouvée directement. On ne peut donc que procéder par itérations successives.

Cependant, Robert Bryant, astronome anglais, indique dans le numéro de novembre 1886 de la revue mensuelle de la Royal Astronomical Society une méthode expéditive basée sur le théorème d'inversion de Lagrange. La référence de cet article a été fournie par Monsieur Jean Meeus et son collègue Edwin Goffin.

Joseph Louis Lagrange (1736/1813) a été l'un des plus grands mathématiciens du siècle des Lumières. Il est né, italien, à Turin, ville qu'il a quittée pour Berlin en 1766, à l'invitation du roi de Prusse Frédéric II (1712/1786). En 1787, après le décès de ce protecteur des Sciences, il a rejoint Paris où il participa, notamment, à l'élaboration du système métrique avec Lavoisier (1743/guillotiné en 1794). Lagrange a été naturalisé français et est inhumé au Panthéon.

Le théorème d'inversion a été énoncé à l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin en 1770.

Soit une équation implicite du type y = x + a * f(y) où f(y) est une fonction quelconque et "a" une constante suffisamment petite (il semble que Lagrange n'ait pas reconnu cette précision nécessaire à la convergence de son calcul).
Soit une autre fonction quelconque g(x).
Le théorème donne alors le développement en série de g(y) en fonction de x:
le premier terme est g(x) et le terme courant d'ordre k est le produit de (a^k / k!) par la dérivée d'ordre k-1 de ( f(x)^k . g'(x) ).
Le second terme est donc a * d (f(x) * g'(x) ) / dx et le troisième (a^2 / 2) * d( f(x)^2 * g'(x) ) / dx.

Ce théorème s'applique parfaitement à l'équation de Kepler en faisant y = E, x = M, a = e, f(y) = sin(y). André Danjon (1890/1967) indique cependant que Laplace a montré que les séries ne convergent pas toutes si e est supérieur à 0.66274.

Si on retient pour fonction g(x) l'identité on obtient: E = M + e * sin(M) + (e^2 / 2) * 2 * sin(M)cos(M) + (e^3 / 8)( 3 * sin(3M) - sin(M))+...
Ce résultat peut aussi être obtenu par la formule de Taylor, il n'a donc rien d'original.
Dans le cas où on peut se satisfaire d'une précision qui ne soit pas trop grande et où l'excentricité est faible, on néglige habituellement les termes de degré deux et plus.
Mais il y a bien mieux car on peut choisir la fonction g(x) de telle sorte que le terme du deuxième ordre disparaisse.
Son coefficient est égal à d(sin^2(x) * g'(x)) / dx. Il suffit donc de retenir pour g(x) la fonction cotangente dont la dérivée est -1/sin^2(x) pour que ce coefficient s'annule comme dérivée d'une constante.
On obtient ainsi cot(E) = cot(M) - e / sin(M) + 0 + (e^3 / 6) * sin(M) + ...

Si alors on peut négliger le terme du troisième ordre, on obtient, sans oblitérer la précision, une formule au deuxième ordre près qui est extraordinairement simple: cot(E) = cot(M) -e /sin(M) ou encore:

tan(E) = sin(M) / (cos(M) - e).

Cette formule est donnée dans l'excellent ouvrage de Jean Meeus "Calculs astronomiques pour amateurs" paru en 1986 et réédité en 2014 par la Société astronomique de France.

Pour la terre dont l'excentricité est de 0.016705, la précision est de 0.16 seconde d'arc. La précision s'abaisse à une seconde d'arc dés que l'excentricité dépasse 0.0307, ce qui est le cas de toutes les planètes visibles à l’œil nu sauf vénus. Il convient alors de tenir compte du terme du troisième ordre et, pour mars, de faire une itération en retenant comme valeur finale E' = M + e * sin(E). 
En opérant ainsi pour la terre la précision monte à 0.00002 secondes d'arc!
La méthode n'est pas applicable à mercure.

Connaissant E on calcule l'anomalie vraie V. L'écart entre V et M est appelée équation du centre, "équation" signifiant alors petite quantité permettant une égalisation. Elle affecte la longitude du soleil.

en bleu, la terre quotidienne avec l'axe polaire et l'ellipse décrite en 365.2422 jours, en gris le cercle principal

Sur la figure ci-dessus représentant l'écliptique, pour une meilleure compréhension, l'excentricité a été très exagérée, cependant périhélie et aphélie sont bien à leur place. Ce n'est pas le soleil qui détermine ni l'angle que fait l'axe polaire avec le plan de l'écliptique ni sa direction. Il influence ces paramètres et les fait varier très légèrement et régulièrement au cours des siècles mais, fondamentalement, il s'agit là de deux degrés de liberté de la terre.
Il se trouve que l'axe polaire n'est pas dans le plan perpendiculaire à l'orbite qui passe par l'axe principal de l'ellipse (ligne des apsides). En 2018 la terre passe au périhélie le 3 janvier et à l'aphélie le 6 juillet: saison et distance au soleil sont indépendantes.
En vertu de la loi des aires, à l'aphélie, la terre va moins vite (29.29km/s au lieu de 30.29km/s au périhélie), elle reste donc plus longtemps dans la partie de l'orbite correspondant à l'été et à l'automne: c'est l'inégalité des saisons.

Hiver: 89 jours, printemps: 92.81 jours, été: 93.62 jours, automne: 89.82 jours.

Une autre inégalité du soleil vu de la terre tient au fait que celle-ci tourne autour d'un axe incliné sur son orbite.
La figure ci-dessous montre la sphère céleste avec le cercle de l'équateur et celui du trajet du soleil, appelé écliptique.

longitude et ascension droite

La longitude  L du soleil se mesure le long de l'écliptique (en rouge) à partir du point vernal, son ascension droite A se mesure depuis le même point vernal mais le long de l'équateur céleste. Les deux axes des mesures font entre eux l'angle de l'obliquité (23.44°). Le lien entre ascension droite et longitude s'écrit tan(A) = cos(23.44) * tan(L). La déclinaison  D est la hauteur de l'astre mesurée par rapport à l'équateur céleste. Déclinaison et longitude sont liées par la formule sin(D) = sin(23.44) * sin(L).
Il est clair sur la figure que l'évolution sur 20 jours de la position du soleil vu depuis la terre est fort différente selon que l'on se trouve au début ou à la fin du printemps. Pour la même variation de longitude de 20 degrés, du 20 mars au 9 avril l'ascension droite croît de 18.5° et du 31 mai au 21 juin de 21.6°. La déclinaison croît, elle, de 7.8° au début et de 23.44 - 21.9 = 1.54° seulement à la fin du printemps, à l'approche du solstice d'été, ce mot signifiant soleil stable. L'obliquité introduit donc une autre inégalité dans la marche quotidienne du soleil vu de la terre. On l'appelle réduction à l'équateur car elle transforme le mouvement sur l'écliptique en un mouvement horaire sur l'équateur. Sa valeur résulte de la formule des tangentes citée ci-dessus et peut se calculer par un développement en série classique.
Équation du centre et réduction à l'équateur se combinent pour donner l'équation du temps, écart horaire séparant l'ascension droite du soleil de celle d'un astre qui tournerait de manière uniforme autour de l'axe polaire (voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "l'équation du temps" en date du 06/06/2014).
Cet écart varie au cours de l'année entre +14m15s le 12 février et -16m25s le 4 novembre.

l'analemme ou courbe en huit de l'équation du temps

En un lieu de latitude géographique notée lat, l'angle horaire H du lever, ou du coucher, d'un astre quelconque (et notamment du soleil) dépend de sa déclinaison selon la formule cos(H) = - tan(lat) * tan(D). Il dépend donc fondamentalement de sa longitude par la formule des sinus citée plus haut.

L'équation du temps a donc des répercussions sur l'écoulement des jours et des nuits: les heures de lever et de coucher du soleil varient suivant l'anomalie du soleil et sa déclinaison.

les heures des levers et couchers du soleil tout au long de l'année

La courbe du haut en rouge représente la déclinaison du soleil et celle en bleu l'homothétique de la sinusoïde dans le rapport sin(23.44°) =  0.3978 . Ces deux courbes sont très voisines mais cela suffit à impacter sensiblement la marche du soleil.

Le graphique, calculé pour un lieu de latitude 47°, présente dans sa partie centrale, en jaune clair la période d'ensoleillement et en bleu clair la nuit. Les courbes, avec une couleur par saison, qui séparent les deux zones sont les heures de lever et de coucher du soleil. On parle ici en heure solaire locale et il n'est pas tenu compte de l'incidence de l'éventuelle heure d'été qui est artificielle.
On constate une dissymétrie par rapport à la ligne de midi entre lever et coucher et un étranglement pour les levers de l'hiver et les couchers de l'automne.

Le premier jour de l'année, dix jours après le solstice d'hiver, est celui où le lever est le plus tardif, à 7h45. Le lever le plus précoce a lieu le 17 juin, quatre jours avant le solstice d'été, à 4h4.
Le 12 décembre, neuf jours avant le solstice d'hiver, est le jour où le coucher est le plus tôt à 16h10. Le coucher le plus tardif intervient le 26 juin, cinq jours après le solstice d'été, à 19h59.

La courbe d'allure sinusoïdale en bleu représente l'équation du temps, celle en gris en est la dérivée et donne la durée du jour entre deux passages plein sud successifs et celle en rouge partage en deux l'ensoleillement du jour.
Pour les jours correspondant aux minima et maxima de l'équation du temps, là où la dérivée de l'équation du temps s'annule, soit les 12 février, 13 mai, 26 juillet et 4 novembre, la durée entre deux passages successifs plein sud, est exactement 24h00m00s. Pour les autres jours cette durée n'est pas de 24h. Le record du jour le plus long, 24h+29.9s, revient au 22 décembre alors que celui du jour le plus court 24h-21.1s est pour le 17 septembre.

Les jours où l'équation du temps s’annule, soit les 16 avril, 13 juin, 1er septembre et 25 décembre la durée du matin est égale à celle de l'après midi. Pour tout autre jour il y a partage inégal: le 4 novembre par exemple la matinée dure 16minutes de plus que l'après midi et c'est l'inverse le 12 février pour 14minutes.

en pliant l'année autour des solstices les caprices du soleil sont flagrants

La figure ci-dessus est la même que la précédente mais on a superposé les deux moitiés de l'année pour faire mieux apparaître l'influence de l'anomalie du soleil.

Ces subtilités de la marche de notre étoile laissent généralement insensible le quidam, mais un observateur attentif muni d'une horloge de bonne précision peut les mettre en évidence.

Il pourra ainsi apprécier les caprices du soleil! 

 

La cartographie des étoiles

Selon la Bible, les étoiles appartiennent au monde des ténèbres qui s'oppose à celui de la lumière et qui alterne avec lui. Ces deux mondes sont séparés au premier acte de la Création et la suite viendra suivant le rythme ainsi établi. Ce n'est qu'au quatrième jour qu'apparaissent le grand et le petit luminaire! Ainsi le soleil n'est pour rien dans la formation de la lumière du ciel: il n'en est pas la cause, son rôle est d'éclairer la terre. Celui de la lune et des étoiles est de prendre le relais lors de la nuit. C'est l'inexplicable disparition des étoiles pendant la journée qui justifie qu'il existe un monde des ténèbres bien particulier.

La Création, Giusto, baptistère St Jean Baptiste à Padoue

Cette dualité de mondes cessera avec la compréhension des phénomènes de la dispersion des rayons lumineux et de la décomposition différentielle des ondes lumineuses dans l’atmosphère terrestre: les étoiles sont simplement cachées par le bleu du ciel. Sur la lune les étoiles sont toujours visibles dans un ciel d'un noir absolu.

dessin de Annie-Claude Martin

Jean Giono (1895-1970), chantre épique de la nature, publie en 1933 "Le Serpent d’Étoiles". Il s'agit là de l'un des écrits les plus dramatiques du poète. Le héros se rend, le jour de la Saint Jean, à la fête (imaginaire...) des bergers, en Haute Provence et décrit les "étoiles (qui) couraient dans le ciel comme des graines au vent". Son pilote "regardait au ciel la trace du chemin: les étoiles, parait-il, le marquaient". Arrivé à destination, "Malgré la grande nuit on y voyait; toutes les étoiles étaient descendues sur la terre et c'étaient les yeux des moutons éclairés par les feux de garde". Et "les chefs de bêtes...sont tous là autour de lui, lourdement engrossés de rêves, du beau tortillon du serpent des étoiles...".
Commence alors l'opéra fantastique de la nature joué par les bergers, récit hallucinant d'une Création, "écrite dans les étoiles" et rivale de celle de la Genèse. Le récitant annonce que l'homme "sera le sommet d'entre les sommets: sa tête montera à la rencontre des étoiles et de son regard bleu il dénombrera les étoiles, comme des brebis dans l'enclos des pâtures". Un grave conflit écologique entre la Terre, d'une part, et l'Homme et sa civilisation d'autre part, est alors prédit...
Au moment de partir l'un des musiciens conclut: "Moi, tout à l'heure , j'ai vu, là-haut au milieu de la nuit, un grand serpent d'étoiles! Il suffit d’imaginer".

Dès l'Antiquité Grecque des "astronomes" ont entrepris de mesurer par des méthodes ingénieuses les emplacements des étoiles par rapport au point vernal (ascension droite) et à l'équateur céleste (déclinaison). Ils ont commencé par établir une table du mouvement du soleil en le repérant par rapport aux étoiles les plus proches visibles juste avant son lever et juste après son coucher. Ensuite ils utilisaient la lune ou vénus comme astre intermédiaire pour rattacher d'autres étoiles au soleil.
Hipparque (-190/-120) a constaté un écart de 2 degrés entre ses mesures de l'étoile principale de la constellation de la vierge, l'épi, faites en -129 (valeur de la longitude 174°) et celle faites vers -273 (longitude 172°) par Timocharis (-320/-260) et a ainsi mis en évidence le phénomène de la précession des équinoxes de 2° en 144 ans. La valeur réelle est de 0.0139° par an, soit 2.008° en 144 ans! (précession car chaque équinoxe précède celui qui se serait produit autrement).

André Danjon (1890/1967), ancien Directeur de l'Observatoire de Paris écrit dans son livre magistral "Astronomie Générale" Sennac 1952, Blanchard 1994 : "C'est à Copernic (1473/1543) qu'est due l'interprétation admise aujourd'hui: la direction de l'axe de la terre ne reste pas invariable dans l'espace; son angle avec l'écliptique étant constant, elle décrit un cône de révolution...à raison de 50.2" par an".
Newton (1643/1727) a fait la théorie de ce phénomène en deux temps. Il a d'abord établi que, contrairement au point de vue de Descartes (1596/1650), la terre, du fait de sa rotation, présente un renflement équatorial (voir à ce sujet l'article en date du 23/02/2016 intitulé "l'aube de la science dynamique"). Il a démontré ensuite que l’attraction de la lune et du soleil sur cet ellipsoïde en rotation engendre un couple tendant à redresser l'axe de rotation. La résultante gyroscopique de cette force, irrégulière au cours de l'année, est concrétisée par la lente rotation en 25900 ans de l'axe de la terre perpendiculairement à l'écliptique. Aujourd'hui, le pôle nord est voisin de l'étoile principale de la petite ourse appelée pour cette raison étoile polaire alors que dans 12950 ans c'est l'étoile principale de la lyre, véga, qui portera ce nom, comme elle le portait il y a 12950 ans!
Il faut encore ajouter que l'obliquité diminue de 0.0131° par siècle et que l'écliptique subit un léger balancement du fait des planètes proches (vénus) ou massives (jupiter).
Maurice Danloux-Duménils a pu évoquer dans son livre "Éléments d'Astronomie Fondamentale" Blanchard 1985, "les complications de l'astronomie de position, dans un univers où tout est de guingois, et où tous les plans de référence... font entre eux des angles constamment variables".

Compte tenu de ce qui précède, les coordonnées des étoiles évoluent constamment et une carte céleste n'est rigoureusement exacte qu'à un instant donné!
Il en résulte encore que les constellations du zodiaque avançant de 1.39° par siècle, chacune prend la place de la précédente en 2150 ans . Il est donc absurde d'établir un lien entre un jour de l'année et la symbolique d'un signe du zodiaque datant de la haute antiquité. Le 21 mars appartient aujourd'hui à la constellation des poissons à la place de celle du bélier!

Ptolémée (100/170) a consigné dans l'Almageste les coordonnées de 1 022 étoiles.
La civilisation arabe s'est ensuite trouvée dépositaire de cette science astronomique et il en est découlé une nouvelle dénomination de la plupart des étoiles principales.
La mission Gaia de l'Agence Spatiale Européenne démarrée en 2015 permet aujourd'hui de connaître les coordonnées d'environ un milliard d'étoiles.

l’astronome amateur moderne selon l'excellent Chaval

Il y a carte du ciel ... et carte du ciel!

La carte de la constellation du taureau extraite de "Revue des constellations" par R.Sagot et J. Texereau (SAF 1963)

La carte ci-dessus est le fruit du travail de deux éminents membres de la Société Astronomique de France, aidés par de multiples collaborateurs, qui ont passé en revue les 88 constellations et mis ainsi à la disposition des amateurs une somme destinée à les guider et à leur procurer "un enrichissement et une source de joies inépuisables".

Le taureau vu autrement, plus poétique et moins aride (il intéresse même les putti évoluant dans l’éther).

Aplatir une sphère sans la déchirer est évidemment impossible. Alors, pour dessiner le ciel sur un plan, il faut établir une correspondance entre les points de la sphère, les étoiles, et les points de la carte. Il y a plusieurs solutions, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients.
Leur point commun est d'utiliser une projection sur une surface tangente à la sphère, plane ou développable. Au sens strict une projection est une perspective depuis un point mais on utilise aussi ce terme pour une représentation plus compliquée des points de la sphère sur le plan. On distingue les projections sur un cylindre, sur un cône et sur un plan. Cette dernière est désignée par le terme "projection azimutale" en raison du fait qu'elle présente un point radial au point de contact.

Les techniques et problèmes de la projection cylindrique:

les diverses projections cylindriques du point A de déclinaison d

Les points de la carte sont repérés dans un système de coordonnées cartésiennes.

Le point A1 est celui obtenu par perspective. Son ordonnée vaut tan(d). Dès que la déclinaison dépasse 30° la dilatation est importante.

Le point A2 correspond à une projection orthogonale c'est à dire,ici, perpendiculaire à l'axe du cylindre. Son ordonnée vaut sin(d). Cette projection est l'une des projections décrites par le grand mathématicien et géodésien suisse Jean Henri Lambert (1728/1777).
Pour des valeurs élevées de la déclinaison il y a un tassement dans le sens vertical et une dilatation dans le sens horizontal. Cette projection conserve cependant les surfaces et possède donc la qualité dite d'"équivalence".

projection cylindrique orthogonale

Archimède (-287/-212) a démontré que la surface de la sphère est égale à celle du cylindre une fois déroulé, soit 4*pi*R^2.

Le point A3 est tel que son ordonnée soit proportionnelle à la déclinaison. L'ordonnée vaut donc d/(pi/2). Cette projection présente la propriété de l'"équidistance" sur les lignes parallèles à l'axe du cylindre. Les cartes qui en résultent sont dites "carrées" car le réseau des coordonnées se présente sous la forme du carré. Le tassement pour les valeurs élevées de la déclinaison n'existe plus puisque les parallèles de la sphère sont à la bonne distance les uns des autres.

Le point A4 correspond à la célèbre "latitude croissante" retenue par le mathématicien portugais Pedro Nunes (1502/1574) et le géographe flamand Gérard Mercator (1512/1594) pour imaginer et construire la Carte de Mercator dont l'avantage considérable réside dans la propriété d'être loxodromique, ce qui signifie que la marche d'un navire gardant un cap constant se traduit par une droite sur la carte. Cette propriété de conserver les angles est dite "conformité".
La déformation pour les valeurs élevées de la déclinaison est importante:

déformation induite par la latitude croissante de Mercator

C'est l'astronome anglais Edmund Halley (1656/1742) qui a démontré que cette latitude croissante, ordonnée du point A4, est égale à log(tan(d/2+pi/4)) (voir à ce sujet l'article intitulé "de la boussole au logarithme: la loxodromie" en date du 29 mars 2016).

Les techniques et problèmes de la projection azimutale:

les diverses projections azimutales du point A de déclinaison d

Les points de la carte sont repérés dans un système de coordonnées polaires.

Le point A1 est obtenu par perspective depuis le centre. Son rayon vaut 1/tan(d). Cette projection est dite gnomonique par analogie avec les cadrans solaires à style vertical de l'Antiquité. Les déformations sont très importantes mais un grand cercle, plus court chemin entre deux points, a bien pour image une droite. Cette projection présente donc l'intérêt d'être orthodromique. Les officiers de Marine Gustave Hilleret (1844/1922) et Désiré Gernez (1877/1954) ont étudié les cartes obtenues respectivement sur un plan tangent à un point de l'équateur et sur un plan tangent à un pôle. Ces cartes permettent de tracer, par point, le trajet orthodromique sur une carte de Mercator.

Le point A2 résulte de la projection orthogonale qui produit un tassement important des points proches de l'équateur. Son rayon est égal à cos(d).

Le point A3 est tel que son rayon soit proportionnel au complément de la déclinaison. Le rayon vaut donc 1 - d/(pi/2). Cette projection a la propriété d'"équidistance" sur les lignes d'azimut et les parallèles sont à la bonne distance les uns des autres.

le drapeau de l'ONU est une projection azimutale équidistante

Le point A4 est tel que le rayon soit égal à la corde qui le joint au point de contact. Cette projection décrite par J.H. Lambert conserve les surfaces, elle a donc la propriété d'"équivalence". Le rayon est égal à 2*sin(pi/4-d/2). La carte est plus fidèle au centre mais les déformations pour les faibles valeurs de la déclinaison sont plus importantes.
Le point A5, plus original, est le projeté du point A depuis le point de la sphère opposé au point de contact. Cette projection est la projection dite "stéréographique" (i.e. qui écrit un solide en relief) largement utilisée par les astronomes, de l'Antiquité à la Renaissance, pour la construction des astrolabes. Le rayon vaut 2*tan(pi/4-d/2) et elle déforme encore plus que la précédente pour les valeurs fortement négatives de la déclinaison.
Mais son intérêt essentiel est qu'elle est conforme. Et on démontre aisément qu'il en découle que les cercles de la sphère qui passent par le pôle de projection ont pour projetés des droites passant par le projeté du pôle et que tout cercle de la sphère qui ne passe par le pôle a pour projeté un cercle dont le centre se construit facilement comme projeté du sommet du cône tangent à la sphère le long du cercle .
Cette circonstance rend facile la représentation du ciel et le tracé des multiples cercles qu'il recèle : horizon, premier vertical, équateur, tropiques, écliptique, cercles horaires, de hauteur, d'azimut. En pratique les constructeurs d'astrolabe ont retenu comme plan de projection le plan équatorial, ce qui ne change rien à l'affaire.
Qui, le premier, s'est rendu compte de cette propriété insoupçonnée? Il y faut une bonne culture en matière de géométrie en trois dimensions! On attribue, sans certitude, cette découverte à Hipparque (-190/-120).

Les projections coniques sont utilisées pour établir des cartes de superficie limitée et ne sont d'aucun secours pour donner une représentation d'ensemble du ciel: elles ne sont donc pas étudiées ici.

Dans la pratique, pour représenter l'entier du ciel visible en un lieu donné on retient le plus souvent une projection cylindrique pour la zone équatoriale et une projection azimutale pour les zones polaires. Dans chaque catégorie on peut choisir entre l'équidistante, l'équivalente ou la conforme.

A tout seigneur tout honneur, les premières cartes du ciel ont été les astrolabes qui utilisent une projection stéréographique depuis le pôle sud sur le plan équatorial vue depuis le dessus. L'image du ciel est consultée, l'astrolabe posé à plat (voir à ce sujet les articles intitulés "L'astrolabe planisphérique classique le jour, la nuit" en date des 13 mars et 15 mars 2014).

l'astrolabe classique

la carte stéréographique du ciel de l'astrolabe

Toutes les lignes sont des cercles: l'horizon en vert, l'équateur et le premier vertical en bleu, l'écliptique multicolore suivant la saison, le tropique du capricorne en noir et la limite des étoiles visibles en gris. Ce dernier cercle est gradué en ascension droite.
On constate une concentration centrale et une extension excessive pour les constellations situées plus au sud que le tropique du capricorne telles que le sagittaire ou le scorpion. C'est la raison pour laquelle, semble-t-il, l'astrolabe est limité à ce tropique dans la pratique. Seule étoile située au delà à être mentionnée (de justesse!): antarès, le cœur du scorpion, parce qu'il y a deux mille ans son ascension droite était égale à -23.95° pour une obliquité de 23.85° alors qu'elle est aujourd'hui de -26.43° pour une obliquité de 23.44°. Variations séculaires et précession des équinoxes sont à l’œuvre.
Au cours de la nuit les images des étoiles sur l'astrolabe défilent de l'est vers l’ouest, dans le sens des aiguilles d'une montre.
Pour rapprocher cette carte des modèles modernes il faut inverser le sens de rotation et regarder donc les étoiles par dessous. On tient alors la carte devant ou au dessus de soi en la présentant à la partie du ciel observée

carte moderne par projection stéréographique

Cette projection conserve les formes: toutes les constellations de l'hémisphère céleste nord sont bien ressemblantes. Même orion est bien rendu. Cependant il faut une grande échelle pour aérer le centre.
On répond à cet inconvénient en utilisant la projection équivalente de Lambert qui conserve localement les surfaces.

carte azimutale équivalente de Lambert

L'écliptique n'est plus un cercle (centré sur l’œil de chat), l'horizon non plus. L'hémisphère nord est prépondérant: la partie centrale est bien plus aérée mais les étoiles d'assez forte déclinaison négative sont sacrifiées.
Les constellations sont étirées dans le sens des ascensions droites. Le carré de pégase devient un rectangle...et orion est tassé sur lui-même.

On peut ré-équilibrer l'ensemble avec la projection équidistante qui a pour avantage de respecter les distances sur les méridiens.

carte azimutale équidistante de Postel

Là aussi, plus de cercle ni pour l'écliptique ni pour l'horizon. L'ensemble parait plus équilibré, l'étirement est moindre et les constellations du sud sont améliorées. C'est la solution retenue aujourd'hui par la quasi totalité des fabricants de cartes du ciel.

la carte "SIRIUS" (latitude 47°) éditée par Hallwag, Berne

Les deux cartes suisses "SIRIUS", petit et grand modèles, sont les meilleures! Mais il semble qu'elles ne soient plus éditées...

pendule sidérale

L'horloger japonais Citizen a construit en 1994 une pendule sidérale présentant, pour la latitude de Tokyo 35.7°, une carte du ciel suivant cette même projection. La carte est mise à jour en temps réel par la rotation du disque portant les dessins des étoiles. Ce disque tourne dans le sens inverse des aiguilles et fait un tour complet en un jour sidéral soit 23h56m4s. On règle la pendule une fois pour toute en fonction du temps universel, du fuseau horaire légal du lieu et de l'écart de longitude entre le lieu et l'axe du fuseau horaire. L'ajustement en fonction de l'équation du temps et de l'heure d'été reste ici une opération virtuelle (voir à ce sujet l'article en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps").

Pour avoir un dessin plus fidèle des constellations dont la déclinaison moyenne ne dépasse pas 50° environ, il faut avoir recours à une projection sur un cylindre tangent à la sphère céleste le long de l'équateur céleste.

La projection par perspective entraîne une dilatation verticale dommageable dès 30° de déclinaison:

carte cylindrique perspective

La projection orthogonale équivalente de Lambert a pour effet inverse de tasser verticalement ces zones:

carte cylindrique équivalente de Lambert

 La projection équidistante est un moyen terme:

carte cylindrique équidistante

Mais la perfection est mieux approchée par la carte de Mercator:

carte de Mercator

L'Institut Géographique National édite aujourd'hui une carte du ciel comportant trois parties. Le bandeau supérieur présente suivant une projection de Mercator les constellations les plus proches de l'équateur céleste (déclinaison de -50° à +50°). L'ensemble des constellations apparait en dessous selon une projection stéréographique de chacun des hémisphères célestes sous forme de deux disques, jointifs au niveau de la constellation d'orion. L’espacement des méridiens est horaire.
Le résultat est excellent de fidélité à la réalité de la sphère céleste vue par un terrien et le lecteur peut s'exercer à comparer l'apparence d'une même constellation dans chacune des projections.
Les constellations sont figurées avec l'iconographie inspirée de leurs noms allégoriques et dessinée par Isaac Thuret (1630/1706) horloger de Louis XIV, ce qui, sans nuire au caractère scientifique de l'objet, le rattache à l'histoire de l'astronomie. Isaac Thuret a fabriqué en 1674 sous la direction de l'astronome hollandais Huyghens (1629/1695) la première montre à ressort spiral.

IGN et les étoiles

Les étoiles sont ainsi cartographiées, mais cela ne résout pas la question de savoir ce qu'elles sont!

Que signifie exister?

Dans les pas de Ptolémée: de la géométrie dans l'espace à la géométrie plane

La géométrie dans un plan, c'est facile et ludique: il suffit de dessiner!

Mais pour comprendre les phénomènes astronomiques il faut ajouter une troisième dimension, ce qui implique un niveau d'abstraction supplémentaire. Quant à la quatrième dimension c'est encore bien pire...

Ptolémée, de dos (?), par Raphaël (1483-1520), l’École d'Athènes, Vatican

Heureusement il existe pour aider l'astronome une technique simple basée sur le principe du rabattement. Il s'agit de dessiner sur un même plan de référence, ce qui se passe dans d'autres plans en les faisant tourner autour d'axes judicieusement choisis. Les Grecs connaissaient bien cette technique et l'ont transmise aux astronomes et mathématiciens de la Renaissance. Les taupins, jusque dans les années 1960, l'apprenaient et la pratiquaient sous le nom de géométrie descriptive (ou "descro", matière aussi désuète que le calcul numérique ou "cul nu"!).

On va décrire ici le cheminement suivi pour réduire les problèmes de la géométrie dans l'espace à des problèmes de géométrie plane.

D'abord on choisit de montrer la sphère céleste telle qu'elle se présente en un lieu donné en projection sur le plan méridien du lieu, depuis un point situé à l’Est de ce lieu. On choisit encore de retenir l'instant où le plan de l'écliptique est perpendiculaire au plan méridien. 
On appelle colure des solstices le cercle horaire qui contient les solstices. Le mot "colure" est la contraction de deux mots grecs: "kolos" qui signifie "tronqué" et "oura" qui signifie "queue". En effet la moitié de ce cercle horaire qui se trouve sous l'horizon est invisible.
Le plan de projection ainsi retenu est alors le plan du colure des solstices: c'est le plan de référence; le plan du colure des équinoxes lui est perpendiculaire et est vu de champ.

Le point de vue peut être choisi soit sur la sphère céleste elle-même, la projection est alors stéréographique, soit à l'infini, la projection est alors orthographique, soit en un point intermédiaire judicieusement choisi.

Ces projections sont très fécondes, pour les cadrans solaires et pour les astrolabes universels.

L'orthographique est celle du "Traité de l'Analemme" de Ptolémée (100-168) qui servait pour les Grecs et les Romains à construire les cadrans solaires d'heures inégales. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le Traité de l'Analemme par Ptolémée" et celui du 15/10/2014 intitulé "L’énigme des heures inégales".

Ptolémée par André Thivent

carte du monde connu reconstituée au XVe siècle à partir du texte de Ptolémée

La Composition Mathématique, désignée souvent par son nom d'origine arabe l'Almageste, œuvre princeps de Ptolémée, et sa Géographie, ont gouverné la Science pendant quinze siècles.
L'introduction du point équant rendait presque parfaitement compte des observations courantes des planètes. Mais la perspicacité de l'astronome danois Tycho Brahé (1546-1601), observateur hors pair, va permettre au mathématicien allemand Johannes Kepler (1571-1630) de découvrir les véritables lois régissant le mouvement des planètes. Voir à ce sujet l'article du 1er mai 2014 intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler".

Les inventeurs des astrolabes universels, c'est à dire indépendants de la latitude du lieu, ont utilisé ces projections: la stéréographique notamment pour l'astronome espagnol Arzaquiel (1029-1087) et ses disciples pour construire la "saphaea", l'orthographique pour l'astronome espagnol Juan de Rojas en 1551 et, enfin, l'intermédiaire pour l'astronome français Philippe de La Hire (1640-1748) en 1701. Voir à ce sujet l'article du 24 avril 2015 intitulé "Les astrolabes universels".

réplique d'un astrolabe du type Arzaquiel, construite et commercialisée par l'astrolabiste suisse Martin Brunold

On utilise ici la projection orthographique depuis le point gamma de l'espace. La sphère céleste donne un cercle, dessiné en gris sur la figure ci-dessous établie pour un lieu de latitude 32°, soit les environs d'Alexandrie. L'écliptique, vu de champ, est un segment, dessiné en orange, faisant un angle de 23.44° avec l'équateur céleste et dont les deux extrémités sont le solstice d'été vers le zénith et le solstice d'hiver vers le nadir. Sont notés le sud, le nord, le segment de l'horizon, le zénith, le pôle nord, l'axe polaire et l'équateur céleste en rouge, sous l'horizon: le nadir et le pôle sud.
Le décor est en place.
Retenons la date du 11 novembre.
Les développements seront ici limités au seul soleil mais ils s'appliquent à n'importe quel astre.

la longitude du soleil en orange, sa déclinaison en vert clair et son ascension droite en gris

Ce jour-là, vers 15h, le soleil a une longitude, notée L, fournie par les éphémérides, de 229.4°. Par rabattement du plan de l'écliptique, cette valeur permet de placer le point représentatif lambda et sa projection sur l’écliptique au point occupé par le soleil. Le soleil parcourt, au cours de la journée, le parallèle passant par ce point. La longueur du segment gamma-SOLEIL vaut cos(pi/2+L) soit sin(L).

La  déclinaison, notée d, en découle puisque le parallèle parcouru par le soleil coupe le cercle de référence au point qui la détermine. Elle vaut -17.6° ce que confirment les éphémérides (on peut noter qu'à la date du 30 janvier, le soleil a la même déclinaison et se trouve donc au même emplacement sur la figure). Le parallèle coupe l'axe polaire au point noté delta et la longueur du segment gamma-delta vaut sin(d).
L'ascension droite, notée aS, en découle aussi. En effet le rabattement du parallèle du soleil donne le cercle dessiné en noir de rayon cos(d). La perpendiculaire au parallèle élevée depuis le soleil coupe ce cercle au point figurant l'ascension droite, valant ici 227° soit 15h7m, ce que confirment les éphémérides. Par construction la longueur du segment delta-SOLEIL vaut sin(aS)cos(d). Par similitude de rapport 1/cos(d) on établit le point alpha figurant l'ascension droite sur l'équateur. la longueur du segment gamma-alpha vaut sin (aS).
En une journée, longitude et ascension droite varient en moyenne de 360/365 = 0.97 degré ou 3.9m.

On peut maintenant passer au déroulement de la journée du 11 novembre.
Au cours de la journée le soleil décrit sur la sphère céleste le parallèle dessiné en jaune pour la partie diurne et en gris pour la partie nocturne sur la figure ci-dessous.

les rabattements sur le plan du colure des solstices

Au moment de l'observation le soleil occupe une certaine position notée soleil sur la figure ci-dessus. La projection de ce point sur le plan de référence donne S' et permet de définir deux axes de rabattement passant par ce point: le premier parallèle à l'axe horizontal nord-sud et le second parallèle à l'axe polaire, qui est aussi l'axe horaire 0h/12h.
Le cercle en bleu, rabattement sur le plan de référence suivant l'axe horizontal, est le cercle de hauteur, son rayon est égal au cosinus de la hauteur, notée h, et varie au cours de la journée; l'angle en bleu est l'azimut, noté A.
Le cercle en rouge, rabattement suivant l'axe horaire, est le cercle horaire, son rayon est égal au cosinus de la déclinaison d et est considéré comme fixe au cours de la journée; l'angle en rouge est l'angle horaire, noté H, notion qui exprime l'heure par rapport à midi (15 degrés = 1 heure).

Par construction, les points A1 et H1, images des rabattements du soleil, sont tels que SS' = S'A1 = S'H1, ce qui est explicité par le cercle en gris dont le rayon s'exprime de deux façons: sin(A)cos(h) ou bien sin(H)cos(d). Ces deux produits ne sont autres que l'expression de la distance du soleil au plan de référence. En effet ils représentent la même coordonnée dans le système des coordonnées horizontales et dans celui des coordonnées équatoriales, systèmes qui dérivent l'un de l'autre par la rotation d'un angle égal à la valeur de la latitude autour de la direction du point gamma. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le traité de l'Analemme par Ptolémée".

Retenons comme instant 14h56, heure solaire.

on obtient graphiquement les valeurs de l'azimut, en bleu, et de l'angle horaire , en rouge.

On reporte alors sur le dessin de la sphère céleste sur le plan de référence les valeurs des angles obtenus:

les quatre coordonnées du soleil

L'arc en vert clair est la déclinaison d, celui en bleu l'azimut A, celui en rouge l'angle horaire H depuis midi et celui en jaune la hauteur h.
On a les égalités suivantes: OD = -sin(d), OA = cos(A), OH = cos(H) et Oh = sin(h). Les longueurs des segments reliant le centre à ces quatre points varient au cours de la journée et suivant le calendrier de façon inter-dépendante.

On retrouve facilement de manière graphique les formules de la trigonométrique sphérique régissant cette inter-dépendance:

les quatre segments représentant sin(d), sin(h), cos(A) et cos(H)

On a, en effet, OE = -sin(d)/sin(la), OE' = sin(h)/sin(la), SD = cos(d)cos(H), Sh = cos(h)cos(A) où S est le point marqué "soleil".
Dans le triangle SDE' on a SD = tan(la)(OD+OE') = tan(la)(-sin(d)+sin(h)/sin(la) et dans le triangle ShE, Sh = tan(la)(Oh+OE) = tan(la)(sin(h)-sin(d)/sin(la)). Il en découle les formules liant h, d et H ou d, h et A:

sin(h) = sin(la)sin(d)+cos(la)cos(d)cos(H) et sin(d) = sin(la)sin(h)+cos(la)cos(h)cos(A).

D'autre part, par construction on a tan(A) = SA1/Sh = sin(H)cos(d)/Sh  et tan(H) = SH1 = sin(A)cos(h), ce qui conduit aux deux autres formules classiques liant A,H et d ou H,A et h:

tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(la)-cos(la)tan(d)) et tan(H) = sin(A)/(cos(A)sin(la)-cos(la)tan(h)).

Ces formules ne sont rien moins que les équations du parallèle décrit par le soleil:

hauteur, en noir, et azimut, en bleu, en fonction de l'angle horaire, de 10 jours en 10 jours entre les solstices

On peut encore noter que le point représentant le soleil est à l'intersection des deux ellipses projections du méridien du soleil et du cercle horaire. Si on gradue l'équateur et l'axe horizontal nord-sud en cosinus, d'une part, et la verticale et l'axe polaire en sinus, d'autre part, on lit directement par interpolation les valeurs des quatre coordonnées.

ellipses (en pointillé) des projections du méridien du soleil et du cercle horaire

Il est très facile de trouver par la géométrie plane les caractéristiques de la course du soleil pour la journée:

caractéristiques de la journée du 11 novembre à Alexandrie (en heures solaires)

Les azimuts au lever (-69°) et au coucher (+69°) sont les points d'intersection avec le cercle de référence de la verticale passant par le point L. Les hauteurs maximale (40°) et minimale (-76°) s'obtiennent par la projection sur l'axe vertical des extrémités du parallèle décrit par le soleil. On constate ici combien l'astronomie d'amateur est plutôt un "sport d'hiver" puisque c'est pendant cette saison que les nuits noires sont les plus longues!
Soit X le point où se coupent la perpendiculaire à l'équateur élevée depuis le point marquant 0h et le rayon d'angle égal à la déclinaison. Soit Y le point d'intersection de la parallèle à l'équateur passant par X et de l'axe vertical. La droite XY, située à une distance égale à tan(d) de l'équateur, coupe l'axe horizontal en K. La perpendiculaire en K au parallèle du soleil coupe alors le cercle de référence aux heures de lever (6h45) et de coucher (17h14) du soleil puisque la distance du point K à l'axe polaire est égale à tan(la)tan(d).
Soit Z le point d'intersection de l'équateur et la perpendiculaire à XY passant Y. La longueur du segment OZ est alors égale à tan(d)/tan(la). Il en découle que la droite YZ coupe le cercle de référence aux heures de passage à l'est (3h58) et à l'ouest (20h01).

Mais il y a encore plus simple pour connaître les heures de lever et de coucher et celles des passages à l'est et à l'ouest.

la proportionnalité de valeur cos(d)

 
Les droites joignant les extrémités du parallèle parcouru par le soleil à celles de l'équateur céleste concourent sur l'axe polaire. En menant depuis ce point la droite passant par le point L marquant les lever et coucher on détermine le point J sur l'équateur puis, perpendiculairement, les heures de lever et de coucher sur le cercle de référence. En procédant de la même façon pour le point E sur la verticale on détermine le point Z puis les heures des passages à l'est et à l'ouest.
En effet les longueurs des segments DL, sin(d)tan(la) et OJ , tan(d)tan(la) sont dans une proportion égale à cos(d) et il en est de même pour les segments DE, sin(d)/tan(la) et OZ, tan(d)/tan(la).

 
Toutes ces heures sont des heures solaires, système d'heures dans lequel, par convention, chaque jour le soleil culmine à midi juste. En effet, jusqu'au boom ferroviaire des années 1840 chacun voit midi à sa porte et chaque lieu a son heure réglée sur le cadran solaire.
Par ailleurs il s'agit ici d'un soleil réduit à son centre et non affecté par la réfraction atmosphérique, ce qui induit un raccourcissement du jour de plusieurs minutes par rapport à la réalité des observations.

"L’engrenage magnifique qui s'appelle le monde", Oasis Interdites, 1937, Ella Maillart (1903-1997)

astronomes au travail sous le regard impatient de la muse Astronomie à la droite de cette tapisserie du XVIe siècle

Un autre intérêt de la figure réside dans le fait qu'elle permet, en un lieu de latitude connue, de résoudre graphiquement les douze problèmes fondamentaux de l'astronomie de position.

Si l'on connait la déclinaison, c'est à dire le jour de l'observation, il existe six problèmes car la donnée d'une seule autre coordonnée détermine les deux restantes:
1 et 2. la hauteur étant donnée, déterminer l'heure et l'azimut,
3 et 4. l'heure étant donnée, déterminer l'azimut et la hauteur,
5 et 6. l'azimut étant donné, déterminer la hauteur et l'heure.
Si, au contraire, on recherche la déclinaison, c'est à dire le jour, il existe trois problèmes car il faut connaître deux autres coordonnées:
7. à partir de l'heure et de la hauteur,
8. à partir de la hauteur et de l'azimut,
9. à partir de l'azimut et de l'heure.
Si on ne connait pas la déclinaison et si on veut un résultat direct il existe trois autres problèmes:
10. déterminer l'heure à partir de la hauteur et de l'azimut,
11. déterminer la hauteur à partir de l'azimut et de l'heure,
12. déterminer l'azimut à partir de l'heure et de la hauteur.

Si la déclinaison est connue, une seule coordonnée est nécessaire pour les connaître toutes :
1 et 2 A partir de la hauteur, la détermination de l'heure et de l'azimut  résulte de la construction de la figure: elle coule de source à partir du cercle de hauteur et du cercle horaire.
3 et 4 A partir de l'heure, pour la détermination de l'azimut et de la hauteur, il faut d'abord construire par parallélisme le point H1 sur le cercle horaire puis sa projection sur le parallèle décrit par le soleil. On obtient ainsi la position du soleil et donc son azimut et sa hauteur.
5 et 6 Pour ces deux problèmes où la coordonnée connue est l'azimut, il faut faire une construction préliminaire propre à chacun d'eux.
5 Pour la détermination de la hauteur à partir de l'azimut, supposant le problème résolu, on note que dans le triangle hh0E la tangente, notée t1, de l'angle hh0E vaut (hO+OE)/cos(h). Mais Oe vaut -sin(d)/sin(la). On a donc t1 = (sin(h)-sin(d)/sin(la))/cos(h). Remplaçant alors sin(d) par sa valeur soit sin(la)sin(h)-cos(la)cos(h)cos(A) et après simplification il vient t1 = cos(A)/tan(la).
Or il est facile de déterminer le point V de l'axe horizontal nord sud tel que dans le triangle OVE la tangente de l'angle OVE soit égale à t1. En effet le segment OL valant sin(d)/cos(la), la perpendiculaire à l'axe OL élevée en L coupe la droite matérialisant l'azimut au point N tel que ON = sin(d)/(cos(A)cos(la). Le point N donne alors le point V tel que la tangente de l'angle OVE vaut t1. La droite EV coupe donc le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.

la hauteur à partir de la déclinaison et de l'azimut

6 Pour la détermination de l'heure à partir de l'azimut, supposant encore le problème résolu, on note que dans le triangle H0ZH, où H0 est la marque de l'angle horaire sur le cercle de référence, la tangente de l'angle H0ZH, notée t2, vaut sin(H)/(cos(H)+OZ) Mais OZ vaut -tan(d)/tan(la). On a donc t2 = sin(H)/(cos(H)-tan(d)/tan(la)). Remplaçant alors sin(H) par sa valeur soit tan(A)(cos(H)sin(la)-tan(d)cos(la)) et après simplification il vient t2 = tan(A)sin(la).
Or, là encore, il est facile de déterminer sur le segment AA0 le point U tel que dans le triangle UOA la tangente de l'angle UOA soit égale à t2. En effet il suffit de construire le triangle isocèle de sommet A, d'angle au sommet 90°-la et dont les cotés égaux valent cos(A). Dans ce triangle le pied U de la hauteur abaissée sur le coté AA0 est tel que cos(90°-la) = AU/sin(A). La tangente de l'angle AOU vaut alors tan(A)sin(la) soit t2. On construit alors les points X et Y qui donnent le point Z. La droite passant par Z et faisant un angle égal à l'angle AOU avec l'équateur coupe le cercle de référence au point qui détermine l'angle horaire.
On peut remarquer que t1 et t2 sont les tangentes des angles auxiliaires utilisés pour résoudre les problèmes 5 et 6 par l'emploi des formules de trigonométrie.

l'heure à partir de la déclinaison et de l'azimut

Connaissant la déclinaison, c'est à dire le jour, la donnée d'une coordonnée détermine donc graphiquement sans difficulté les deux autres.

Si on recherche la déclinaison deux coordonnées sont nécessaires.
7 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celle du problème 5, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points E, L et V étant remplacés par les points équivalents E', L' et V', la droite E'V' coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison.
 

la déclinaison à partir de l'heure et de la hauteur

8 Si on connait la hauteur et l'azimut, la position du soleil et donc sa déclinaison sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
9 Si on connait l’azimut et l'heure, on détermine comme pour le problème 6 la position du point U ce qui permet de construire le point Z puis le point Y puis le point X . La droite OX coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison. Là aussi les angles auxiliaires utilisés sont ceux qui permettent la résolution des problèmes 7 et 9 par l'emploi des formules de trigonométrie. 

la déclinaison à partir de l'azimut et de l'heure

Si, sans chercher à connaître la déclinaison, on dispose de deux coordonnées, on peut déterminer la quatrième.
10 Si on connait la hauteur et l'azimut, comme pour le problème 8, la position du soleil et donc l'heure sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
11 Si on connait l'azimut et l'heure, la solution est analogue à celles des problèmes 6 et 9, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points U, Z, Y et X étant remplacés par les points équivalents U', Z', Y' et X', la droite OX' coupe le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.

l'azimut et l'heure donnent directement la hauteur

12 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celles des problèmes 6, 9 et 11. La hauteur donne les points X', Y' et Z', l'heure donne la valeur de l'angle U'OH, d'où depuis Z' le point du cercle de référence qui détermine l'azimut.

l'heure et la hauteur donnent directement l'azimut

 Cet outil rend ainsi facilement compte des mouvements des astres: il met l'astronomie de position et le calcul des coordonnées célestes à la portée de tous les géomètres.

arabesque librement inspirée de Joukowski

triton et nymphe, la joie et l'émotion de la découverte!... Jean Goujon 1549 Le Louvre