le cadran de temps sidéral

"La nuit dispensait ses trésors. Dans le ciel chaque étoile avait pris sa place avec la même exactitude que dans une carte sidérale.
...
Dans le silence des arbres à peine distinct de celui des étoiles, ils vécurent une nuit du monde dans sa privauté sidérale et la révolution de la planète, son orbe enthousiasmante, parut gouverner l'harmonie de leurs gestes les plus familiers."

 Julien Gracq (1910-2007), Au château d'Argol, 1938.

On ne peut mieux définir le terme "sidéral": le temps sidéral n'est pas celui de l'homme mais celui de la terre sur son orbite parmi les étoiles.

Qui veut comprendre la marche des étoiles doit en devenir familier.

Plus prosaïquement le temps sidéral est le repère de la position du globe terrestre par rapport aux étoiles dans sa révolution autour du soleil. A tout moment il mesure en un lieu donné l'écart angulaire entre le méridien et la direction choisie comme origine par les astronomes. Cette direction est celle du point vernal, point dans l'espace où se croisent l'équateur céleste et l'écliptique: le soleil y passe le premier jour du printemps (d'où son nom car le terme latin pour cette saison est "ver").
On appelle aussi ce point le point gamma car le dessin de la troisième lettre de l'alphabet grec est le symbole de la constellation du bélier qui commençait avec le point vernal dans l'antiquité.

Le temps sidéral est donc un angle, compris entre 0° et 360°, mais compté en 24 heures par les astronomes, et c'est la raison pour laquelle on parle de temps et non pas d'angle.
En une journée de 24h le temps sidéral augmente d'un peu plus de 24h puisque la terre se déplaçant sur son orbite d'environ 1° (360°/365.256), elle doit rattraper ce décalage pour se retrouver en face du soleil. Chaque jour le temps sidéral augmente donc de 24h/365.256 soit 3m56s. Lorsqu'il dépasse 24 h on repart à zéro.

La référence en la matière est le temps sidéral de Greenwich qui est égal à 0h0m le 21 septembre 2015 à 12h TU (à cet instant à Greenwich le point vernal passe plein sud). Il vaut 6h le 22 décembre, 12h le 23 mars et 18h le 22 juin.

A quoi sert le temps sidéral?
De tout temps les astronomes ont cartographié le ciel en mesurant d'une part la distance angulaire de l'étoile au point gamma, c'est son ascension droite, RA en anglais, comptée en heures, et d'autre part sa déclinaison par rapport à l'équateur. Des catalogues de plus en plus complets ont ainsi été dressés.
Pour organiser l'observation d'un astre catalogué, même invisible à l’œil nu, il suffit donc de connaître le temps sidéral du lieu, TS, et d'en retrancher son ascension droite pour savoir de quel angle, AH, il faut tourner le télescope à partir du méridien: c'est la relation AH = TS - RA
Jusqu'à l'ordinateur c'était la seule méthode. Aujourd'hui ces calculs ont été rendus automatiques.

Le soleil peut indiquer le temps sidéral.
En effet, si son ascension droite n'est pas accessible directement, elle est reliée à sa déclinaison d par la relation sin(RA) = tan(d)/tan(obli) et sur un cadran solaire l'arc diurne décrit par le point solaire dépend de cette déclinaison et de l'angle horaire. En dessinant un tracé adapté on pourra donc faire désigner par le point solaire la valeur du temps sidéral.

La projection du grand cercle de l'écliptique sur le plan du cadran depuis le sommet du style est une droite qui passe par le point solaire et qui coupe l'équinoxiale du cadran au point gamma projeté (ou à son opposé). C'est ce point qui est l'indicateur du temps sidéral.

Pour construire la ligne sidérale il faut, par exemple, connaître un point et un angle.
Sur un cadran horizontal, pour chaque valeur du temps sidéral, l'angle cherché sera l'azimut des points de l'écliptique situés sur l'horizon et le point utile pourra être celui situé sur la ligne de midi où l'angle horaire est nul.

Tous calculs faits, l'azimut cherché A est donné par la formule: tan(A) = (cos(l).cos(obli)+sin(l).sin(obli).sin(TS))/(sin(obli).cos(TS)).

A midi, l'angle horaire est nul et le temps sidéral est égal à l'ascension droite du soleil qui se calcule par la formule rappelée ci-dessus. On a donc sin(TS) = tan(d)/tan(obli): à toute valeur du temps sidéral correspond une déclinaison. Il est facile de construire le point de la ligne de midi correspondant dont l'ordonnée est donnée par la formule classique y = L.cos(d)/cos(l-d) où L est la longueur du style polaire.

cadran horizontal de temps sidéral

En vert la ligne sidérale, le temps sidéral indiqué par la position du point gamma sur l'équinoxiale est environ 20h20m.

Les lignes sidérales sont symétriques et tangentes aux hyperboles des arcs diurnes des solstices.
Elles se coupent sur les lignes horaires et demi-horaires et les arcs diurnes correspondants aux 12 heures sidérales rondes passent par leurs points d'intersection.
Ces arcs diurnes ne coïncident pas avec ceux figurant habituellement sur les cadrans solaires qui correspondent, eux, aux multiples de 30° de longitude et dont la déclinaison est donnée par la formule sin(d) = sin(obli)*sin(lon) au lieu, ici, de la formule tan(d) = sin(RA).tan(obli), longitude et ascension droite étant liées par la relation tan(RA) = cos(obli).tan(lon). - Ce sont là les arcanes de la trigonométrie sphérique -...
Le cadran horizontal est difficile à lire au voisinage du solstice d'été mais on peut lui adjoindre un cadran vertical pour pallier cet inconvénient.

Ce cadran, outre le temps sidéral, donne des renseignements sur l'écliptique dessiné en vert sur la figure. La ligne sidérale donne la direction du point de celui-ci qui se lève ou se couche. L'azimut du point gamma, situé sur la droite équinoxiale, est égal à l'angle que fait la droite joignant ce point au pied du style avec la ligne de midi. On peut ainsi placer à tout instant dans le ciel ce fameux point de l'équateur céleste qu'aucune étoile proche n'aide à localiser, à la différence du pôle nord.

Mais il faut encore prendre en compte que la terre obéit aux lois de Kepler et ne se meut pas régulièrement autour du soleil et encore que son orbite est de biais par rapport à l'équateur céleste. Le point solaire du cadran ne résulte donc pas d'un mouvement uniforme, le seul qui concerne les étoiles et l'écoulement du temps sidéral.
Par essence le cadran solaire de temps sidéral ne donne qu'un résultat brut faussé par l'équation du temps.

Un résultat correct sera obtenu en décalant le point solaire sur l'arc diurne de la valeur de l'équation du temps. C'est à partir de ce nouveau point imaginaire qu'il faut tirer la ligne sidérale.
Reste à savoir dans quel sens!
On a dessiné dans le haut de la figure ci-dessous la courbe indiquant la valeur de l'équation du temps, en rouge pour le semestre allant du solstice d'été au solstice d'hiver et en bleu pour l'autre semestre.
Par ailleurs on a dessiné en rouge les lignes 12h, 13h et14h de temps sidéral car elles ne concernent que le semestre rouge et en bleu les lignes 22h, 23h et 24h (ou 0h) qui ne concernent que le semestre bleu.
La ligne à tracer devra faire partie de la famille dont la couleur est celle du jour.
Il faudra alors retenir la graduation horaire de la bonne couleur sur la droite équinoxiale et interpoler le temps sidéral suivant la position du point gamma (ou de son opposé).

 

cadran rectifié avec équation du temps

 Avec la correction de l'équation du temps la nouvelle valeur du temps sidéral est 20h10m.

On a fait figurer en pointillé vert la projection du lieu du point culminant de l'écliptique appelé nonagésime puisqu'à 90° des points de l'écliptique qui se trouvent sur l'horizon. Ce point noté N décrit dans l'espace une courbe gauche et ses coordonnées LN et lN sont données par:
tan(LN) = (cos(obli).sin(TS)+sin(obli).tan(l))/cos(TS) et cos(lN) = cos(obli).sin(l)-sin(obli).cos(l).sin(TS).
Ces formules placent à tout instant le zodiaque dans le ciel et ont servi aux astrologues.

Paris, Lycée Louis Le Grand, la tour des cadrans

dans la partie basse le cadran de temps sidéral

 (photos de l'association des Amis du musée scientifique du Lycée Louis Le Grand, Paris, rue Saint jacques).

Le tracé des lignes sidérales semble sujet à caution car elles apparaissent presque parallèles entre elles ce qui n'a pas lieu d'être. Cette anomalie serait le fait de restaurations successives menées par quelques incompétents.
Dans une note de 1991 publiée par la Société Astronomique de France, Madame A. Gotteland et G. Camus ont recalculé et redessiné le cadran.
Les auteurs précisent qu'il s'agirait là du seul cadran ancien de temps sidéral en France!

l'heure à Babylone, en Italie...et ailleurs

Dans une journée un instant est caractérisé par un décompte à partir d'une origine.
La division de la journée en 12 heures pour le jour et 12 pour la nuit remonte à l'invention de la numération. Ce nombre est tellement bien adapté à une découpe en 2, 3, 4 ou 6 parties!
Mais où fixer le début de la journée?
A Babylone et en Égypte la journée commence au lever du soleil. L'heure vulgaire est alors temporaire, c'est à dire de durée physique variable suivant la saison: le jour, d'une part, et la nuit, d'autre part, sont partagés en douze heures. L'heure savante, mesurée par une clepsydre, est, elle, bien égale à un vingt-quatrième de la journée.
Chez les Grecs et les Romains la journée commence au coucher du soleil.
Pour les astronomes les notions de lever et coucher sont trop vagues: ils retiennent comme origine midi, moment bien précis de la culmination du soleil. Une échelle de dates imaginée par Julius Scaliger (1540-1609) toujours employée de nos jours en astronomie et astronautique a comme origine le 1er janvier de l'année 4713 avant J.C. à 12h.
La norme mondiale fait maintenant commencer la journée civile à minuit, encore que chez les anglo-saxons on parle d'heure ante ou post meridiem!

Depuis l'Antiquité et jusqu'aux horloges à balancier du XVII ème siècle c'est le soleil qui donne l'heure. Le décompte des heures de Babylone ou de Rome figure donc sur les cadrans solaires.
Bien entendu, le soleil (ni aucune étoile) ne se lève (ni ne se couche) au même moment de la journée d'un jour à l'autre. Mais considérons l'"empreinte" de l'horizon sur la sphère céleste à l'instant du lever du soleil un certain jour. A cet instant, selon la saison, il se place à une certaine position sur cette empreinte. Une heure après le lever l'empreinte aura tourné, elle occupera une autre position sur la sphère céleste mais contiendra encore le soleil. Il en sera de même pour tous les astres qui à l'instant du lever se trouvaient sur l'empreinte de départ. Ce serait aussi le cas pour le soleil si sa déclinaison avait été différente. Autrement dit, une heure après son lever, le soleil se trouve toujours sur le grand cercle de la sphère céleste qui porte l'empreinte de départ Sa projection depuis le centre sur un plan quelconque sera toujours située sur celle de ce grand cercle qui est une droite passant par le centre de la sphère.
Sur le cadran solaire l'heure babylonique est donc une droite oblique désignée par le rayon du soleil qui passe par le sommet du style.

le grand cercle de la première heure babylonique et sa projection

Il reste à trouver un procédé pour dessiner ces droites.
A l'équinoxe le soleil se lève à 6h et décrit l'équateur céleste: heure classique et heure babylonique coïncident. Les lignes horaires se croisent donc sur la ligne équinoxiale: voilà un premier point.
Un deuxième point peut être obtenu graphiquement par des procédés relevant de la géométrie descriptive encore enseignée en classes de mathématiques supérieures dans les années 60. Aujourd'hui on peut préférer le calcul trigonométrique d'un point tel que celui correspondant au solstice d'hiver.

L'analyse des propriétés de ces lignes babyloniques donne des résultats remarquables.

cinquième heure babylonique et cadran horizontal

La figure représente la sphère céleste 4 heures après le lever du soleil. Le plan du grand cercle de l'empreinte de l'horizon sur la sphère fait avec l'axe polaire un angle constant égal à la latitude. L'axe du grand cercle perce donc la sphère en un point P qui décrit le cercle dessiné en pointillé bleu. Ce cercle passe par le zénith.
On peut considérer le point P comme un astre et calculer son azimut par la formule classique avec des notations évidentes:
tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(l) - tan(d)cos(l)).
La déclinaison est ici égale à pi/2 - l et on obtient:
tan(A) = sin(H)/(sin(l)(cos(H) - 1)) ou encore tan(A) = sin(H)/(sin(l)(- 2sin^2(H/2))) ce qui s'écrit tan(A) = - cotan(H/2)/sin(l).
L'azimut A' des points C1 et C2 qui caractérise l'heure babylonique diffère de celui du point P de pi/2. On obtient donc la relation
tan(A') = - sin(l)tan(H/2).
Cette formule est celle qui donne l'angle tabulaire d'une ligne horaire sur un cadran horizontal. On a dessiné dans la partie nord de la figure les lignes horaires du cadran horizontal: ces lignes sont parcourues par la droite babylonique à une vitesse égale à la moitié de celle du soleil. On verra plus loin quel parti en tirer.

Le grand cercle "empreinte" de l'horizon au lever du soleil a son réciproque pour le coucher du soleil. Celui du lever évolue de l'est vers l'ouest et, si on compte à rebours le temps qui reste avant le coucher du soleil, l'empreinte relative au coucher évolue de l'ouest vers l'est. Sa projection est la ligne italique.
Les plans des grands cercles des "empreintes" enveloppent un cône dont le sommet est le centre de la sphère, l'axe, celui des pôles et dont le demi angle au sommet est la latitude. Les rayons du soleil tangents à ce cône définissent deux droites. Ces génératrices représentent dans l'espace, à un instant donné, les lignes indiquant l'angle horaire qui sépare cet instant du lever du soleil d'une part et de son coucher d'autre part. Les projections de ces droites sont les lignes des heures babyloniques et italiques.

4ème heure babylonique, la génératrice OT du cône est la ligne babylonique

4ème heure italique, la génératrice OT' du cône est la ligne italique

Les lignes des heures babyloniques et italiques de même valeur sont symétriques les unes des autres par rapport au plan méridien et elles se croisent dans ce plan lors des jours où la durée de l'ensoleillement est un nombre entier d'heures.

vues de dessus, en bleu les lignes babyloniques, en rouge les italiques

La figure ci-dessous présente la projection d'une ligne babylonique sur un plan vertical méridional. La génératrice du cône touche ce plan en K, le rayon solaire passant par l'extrémité du style le touche au point solaire S et, pour le cadran solaire méridional, la ligne babylonique est la droite KS. Cette ligne est tangente à la conique intersection du cône et du cadran. 
La conique est tangente à la ligne de l'horizon et ses caractéristiques se calculent aisément: si h est la longueur du style droit, son grand axe vaut h(tan(2 x l)) et son excentricité tan(l).
C'est une ellipse si la latitude est inférieure à 45° et une hyperbole si elle est supérieure. Pour la latitude 45° c'est une parabole.

ligne babylonique 5 pour cadran vertical méridional

ligne italique 5 pour cadran vertical méridional

Ci-dessous dessin complet:

lignes babyloniques et italiques sur cadran vertical méridional

Le tracé des lignes babyloniques et italiques sur un cadran horizontal est tout à fait semblable. La conique est alors toujours une parabole et chaque ligne est parallèle à une ligne horaire.

 

la sixième ligne babylonique est parallèle à la ligne horaire de 15h

Les cadrans solaires présentant les heures babyloniques et italiques donnent beaucoup d'indications d'ordre astronomique sur la marche du soleil en un lieu donné même si "la plupart des curieux les parcourent du regard en se résignant à ne rien comprendre à la signification de leurs lignes" (René R.J. Rohr Les cadrans solaires Oberlin).

cadran vertical classique, babylonique et italique

Sur le cadran ci-dessus dont la déclinaison gnomonique est de 20° vers l'est on note que les lignes babyloniques bleues et italiques rouges se croisent ensemble et avec les lignes classiques grises à chaque heure ronde. Elles se croisent seules aux demi-heures. Les points de croisement dessinent les arcs diurnes relatifs aux jours où la durée de l'ensoleillement est une valeur entière et paire pour les croisements triples et entière et impaire pour les doubles.
A un instant donné le point solaire indique par interpolation les heures babylonique et italique approchées. On en déduit le temps écoulé depuis le lever du soleil et donc l'heure de son lever et le temps qu'il reste avant son coucher, donc aussi l'heure de son coucher.

une latitude particulière à une vingtaine de km au nord de Paris

Sur le parallèle qui passe une vingtaine de km au nord de Paris les lignes babyloniques et italiques se croisent sur les arcs diurnes des solstices et la durée de l’ensoleillement du jour du solstice d'été est deux fois celle du jour du solstice d'hiver.

Les heures italiques ont été très employées en Europe orientale, notamment à Prague.

château des Lobkowicz à Melnik

 Konrad Rauchfuss dit Dasypodius (1530-1600), mathématicien suisse installé en Alsace, concepteur en 1580 de la seconde horloge astronomique monumentale de la cathédrale de Strasbourg, aurait construit des cadrans pour régler son œuvre...Sur la partie droite les heures babyloniques (ab ortu) et italiques (ab occasu).

cathédrale de Strasbourg, les cadrans de Dasypodius

 Pour mettre en application les propriétés angulaires des lignes babyloniques et italiques on peut construire un cadran dont le style est un double cône axé sur les pôles, les deux cônes ayant un angle au sommet égal au double de la latitude.

double cadran classique, babylonique et italique

Le sommet commun aux deux cônes donne le point solaire à l'entrecroisement des ombres. Ce point donne l'heure normale et les heures babylonique et italique sont désignées par les lignes ombre-soleil.

Sur l'un et l'autre plan figurent les lignes babyloniques en bleu et les italiques en rouge. Les lignes du plan horizontal enveloppent une parabole et celles du plan vertical une hyperbole, la latitude dépassant ici 45°. Les lignes en gris sont les lignes horaires classiques.



Henri Bouasse (1866-1953), bouillant professeur de physique à la Faculté des Sciences de Toulouse auteur d'une Bibliothèque Scientifique en 45 volumes, note en 1918 dans son 44 ème tome "Astronomie théorique et pratique" (dont la préface s'intitule " De la manière d'enseigner les sciences inutiles"!):

"Ils n'auront que mépris pour les cadrans solaires qui ne servent plus, c'est entendu, mais qui, outre leur rôle social évident pendant de longs siècles, sont un excellent exercice pour l'étudiant qui ne se complait pas dans le bafouillage grandiloquent.
Pour Dieu! commencez donc par savoir la théorie des cadrans solaires! Vous parlerez ensuite de l'histoire des doctrines astronomiques, si ça vous amuse!
Commencez donc par le commencement; c'est de beaucoup le plus difficile."

Cité par D. Savoie in Les cadrans solaires, Belin, 2003.