mardi 19 juin 2018

JFK: nous serons les premiers à marcher sur la lune!

"We choose to go to the moon..." 1962, John Fitzgerald Kennedy (1917/1963)

Le Conseil International des Unions Scientifiques organise pour 1957/1958 la célébration de la quatrième "Année Géophysique Internationale" qui s'étendra sur 14 mois correspondant à une période de Chandler. Il s'agit initialement de coordonner l'étude des phénomènes géophysiques et météorologiques aux pôles terrestres mais les thèmes sont étendus à la géophysique en général, y compris l'exploration de l'Espace.


Américains et Russes annoncent qu'ils lanceront à cette occasion leurs premiers satellites artificiels, entre six et douze pour les USA mais un seul pour l'URSS.
Aux USA un programme civil, Vanguard, et un programme militaire chargé de la mise au point des missiles, Orbiter, sont menés de front.
Le 4 octobre 1957 Spoutnik vole la vedette aux américains et stupéfie le monde. L'exploit est ré-édité le 3 novembre. Le programme Vanguard est un fiasco et ne peut répondre aux soviétiques. Eisenhower confie alors cette mission à Wernher von Braun et ses équipes qui, le 31 janvier 1958, mettent sur orbite le premier petit satellite américain à l'aide du missile Juno.
La compétition pour la conquête de l'espace est lancée avec pour premier objectif la maîtrise des techniques spatiales et en ligne de mire la lune.

Nouveau coup de tonnerre le 12 avril 1961: Youri Gagarine (1934/1968) fait le tour de la terre à 250 km d'altitude, en 108 minutes, et revient sain et sauf. La réplique américaine est donnée par Alan Shepard (1923/1998) qui doit se contenter de faire un saut de puce de 15 minutes à 186 km d'altitude, un mois plus tard, le 5 mai (il prendra sa revanche dix ans après comme commandant de bord de la mission Apollo 14).
C'en est trop et John Kennedy, président entré en fonction quelques mois plus tôt, mobilise l'Amérique le 25 mai 1961 en fixant comme défi la conquête de la lune dans les dix ans.
Le pari est osé car on ne connait rien des dangers à moyen terme de l'espace pour la vie humaine, rien non plus des caractéristiques du sol lunaire et encore bien peu sur les trajectoires des engins spatiaux.

Le fondateur de la science astronautique est le théoricien russe Constantin Tsiolkovski (1857/1935) autodidacte puis enseignant et enfin élu à l'Académie des Sciences de l'URSS en 1918.
Appliquant le principe action / réaction de Newton il s'affranchit de la croyance selon laquelle une fusée s'appuierait sur l'air et conçoit un vaisseau spatial emportant dans le vide son carburant et son comburant, sous forme solide ou liquide, produits désignés de nos jours par le terme "ergols".
Et il établit, parallèlement à un général belge Casimir Coquilhat (1811/1890) dont les travaux resteront confidentiels jusqu'en 2008! (source ESA), la loi fondamentale des vitesses des fusées dans le vide à partir de la loi de la conservation de la quantité de mouvement. Si v est la vitesse constante d'éjection des gaz et V l’accroissement de vitesse de la fusée on peut écrire:

m.dV = v.dm ou dV = v.dm/m, ce qui donne par intégration V = v * (Log(M1) - Log(M2)) = v * Log(M1 / M2) où M1 est la masse initiale et M2 la masse finale.
Si E est la masse des ergols et M0 la masse à vide, la loi s'écrit donc V = v * Log(1 + E / M0).
Cette équation montre l'importance du rapport de masse (masse d'ergols / masse à vide) qui intervient atténué par la fonction logarithme.

Pour une fusée dans le vide de masse 108 t dont 2 t de charge utile, 100 t d'ergols éjectés à la vitesse de 2000 m/s, et 6 t de masse à vide (6% de la masse des ergols) l'accroissement de vitesse est: 2000 * Log( 1 + 100 / 8) ) soit 2000 * 2.6 = 5200 m/s.
Si la fusée est soumise à un champ de gravité il faut diminuer la valeur calculée de l'influence de celle-ci égale au produit de l'accélération par la durée de combustion.
La vitesse d'éjection des gaz pour une fusée à poudre ne dépasse pas 2000 m/s, la performance est donc à rechercher dans l'utilisation d'ergols bien plus énergétiques tels que le pétrole (2600 m/s) ou l'hydrogène (4000 m/s).
Pour améliorer le rapport de masse il faudra évidemment privilégier les enveloppes utilisant les matériaux les plus résistants. Mais il y a un autre procédé pour l'améliorer qui consiste à alléger la fusée non seulement des ergols brûlés mais aussi de leur contenant. C'est le principe de la fusée à étages qui consiste à larguer par morceaux successifs les masses devenues inutiles. La poussée concernant alors une masse amoindrie est d'autant plus efficace.

On peut par exemple découper la fusée précédente en un premier étage de 80 t d'ergols et 4.8 t de masse à vide et d'un deuxième de 20 t d'ergols et 1.2 t de masse à vide. Après combustion du premier étage la fusée atteindra la vitesse de 2000 * Log( 1 + 80 / 28 ) soit 2000 * 1.35 = 2700 m/s, puis, la masse de la fusée étant réduite à 23.2 t (2 t de charge utile, 20 t d'ergols et 1.2 t de masse à vide), l'accroissement de vitesse à la fin de la combustion du deuxième étage sera de 2000 * Log( 1 + 20 / 3.2 ) soit 2000 * 1.98 = 3960 m/s.
La vitesse atteinte est alors de 6660 m/s soit 28% de plus que la fusée à étage unique.


Le premier étage de la fusée lunaire Saturne V brûle du kérosène avec une vitesse d'éjection de 2600 m/s et les deux autres étages de l'hydrogène avec une vitesse d'éjection de 4100 m/s. La vitesse théorique résultante est donc de 2600*1.25 + 4100*0.96 + 4100*1.1 = 11690 m/s ce qui est un peu supérieure à la vitesse de libération (deuxième vitesse cosmique) à 200 km d'altitude, 11007 m/s, le supplément servant à vaincre la résistance de l'air et la gravité terrestre.

La première guerre mondiale a vu l'essor de l'aviation et le vol de plus lourd que l'air n'est plus un rêve. L'espace devient alors le domaine de la science fiction et, à partir des années 1920, il se produit un engouement généralisé pour les problèmes posés par le voyage spatial. Nombre de vocations scientifiques s'affirment dans de nombreux pays, Pedro Paulet (1874/1945) en France, Robert Goddard (1882/1945) aux Etats Unis, Hermann Oberth (1894/1989) en Autriche, Yuri Kondratyuk (1897/1942) en Ukraine, Sergueï Korolev (1907/1966) en URSS et bien d'autres, notamment en Allemagne. En 1927 est créée à Breslau, ville allemande à l'époque, le "Verein für Raumschiffart" qui regroupe les amateurs passionnés de fusée en Allemagne, dont Walter Hohmann (1880/1945) et Wernher von Braun (1912/1977) qui en est membre dès ses 18 ans.  De multiples essais sont menés et aboutissent en 1932 à une fusée "repulsor" à alcool qui atteint 1500 m d'altitude.


Le traité de Versailles de juin 1919 interdit à l'Allemagne la détention d'armes lourdes telles que les canons à longue portée, mais reste muet quant aux fusées qui ne sont pas encore perçues comme des armes de guerre. Certains militaires allemands sont donc portés à explorer les possibilités des missiles et le capitaine de la Reischwehr Walter Dornberger (1895/1980) est désigné en 1930 pour cette mission: il dirige le Bureau des engins balistiques spéciaux.
W. von Braun accepte en 1932 de travailler avec Dornberger. En 1937 est installé un centre d'études et d'essais complet à Peenemünde au bord de la Baltique où les progrès, alternant avec les échecs, conduisent au mois d'octobre 1942 à la mise au point de la fusée A4 correspondant au cahier des charges imposé par les militaires. Le 3 octobre le modèle testé franchit le mur du son et atteint l'altitude de 80 km. Dornberger fixe à ce moment le premier jour de l'âge astronautique.
Ce succès doit presque tout aux talents multiples de Wernher von Braun.
Mais les Nazis, voulant répondre aux bombardements massifs subis par le pays, s'emparent de cet exploit technologique et le baptisent "Vergeltungswaffe 2", soit Arme de Représailles 2, la n° 1 étant le missile V1 équipé d'un pulsoréacteur à essence très simple, qui entre en service en juin 1944, trois mois avant le V2.

missile V1
 
réplique de missile V2, Peenemünde

La fusée A4, haute de 14 m et d'une masse de 12.5 t (4.5 t à vide), équipée d'un moteur-fusée fonctionnant à l'éthanol (75% d'alcool et 25% d'eau) et l'hydrogène liquide et développant une poussée de 270 kN t (25 t) avec une vitesse d'éjection des gaz de 2000 m/s, est un engin très innovant qui n'a pas, de très loin, son équivalent dans les autres pays. Elle atteint l'altitude de 90 km, vole à mach 3 en emportant une charge de près d'une tonne à plus de 300 km. L'équation de Tsiolkovski donne une vitesse maximale théorique dans le vide de 2000 * Log(1 + 8 / 4.5) soit 2040 m/s ou 7344 km/h mais, à l'échelle spatiale, cette fusée reste très près du sol terrestre ce qui explique l'écart de vitesse.

L'A4 n'est pas encore une fusée spatiale mais c'est la mère de toutes les fusées de l'espace.


fusée A4

Le V2 entre en production en juin 1943 à Peenemünde puis, après le bombardement allié, dans les tunnels d'anciennes mines à Nordhausen, en utilisant, dans des conditions de travail totalement inhumaines, la main d’œuvre puisée dans les camps de concentration de Dora.
Entre août 1944 et mars 1945, 4600 V2 sont construits, environ 3000 sont effectivement lancés. Ils n'ont eu qu'un très faible impact militaire en raison de l'imprécision des tirs et de la relative faiblesse du poids d'explosifs emportés. Ils ont surtout servis de propagande à destination des populations allemandes.

De leur coté, les Américains ont porté leur effort de guerre non conventionnel sur le projet Manhattan, démarré au Laboratoire de Los Alamos en mars 1943 sous la direction technique de Robert Oppenheimer (1904/1967) et débouchant en août 1945 sur les deux bombes atomiques A et H larguées au Japon, sur Hiroshima et Nagasaki. Autre approche, autre résultat...

Georges Rémi (1907/1983) s'est vraisemblablement inspiré de l'allure de l'A4 pour dessiner la fusée construite par le professeur Tryphon Tournesol, avec la lune comme objectif, et révélée début 1950...

W. von Braun qui s'est rendu aux américains le 2 mai 1945 est exfiltré aux USA en septembre 1945 avec ses équipes. Le général Dornberger purge deux ans de prison à Londres mais, expliquant qu'il n'avait pas prévu que le V2 soit utilisé sur des cibles civiles, il échappe à la qualification de criminel de guerre et rejoint W. von Braun en 1947...

Les Russes ont capturé en 1945 un certain nombre d'ingénieurs et techniciens allemands (dont Helmut Gröttrup (1916/1981) assistant de W. von Braun, spécialiste du guidage) qui travailleront pour l'URSS, d'abord en Allemagne de l'Est en 1946 puis en Russie, sous les ordres de Sergueï Korolev. Celui-ci, après trois années de goulag à la Kolyma entre 1938 et 1940, dirige l'OKB 1 (Bureau d’Études Expérimental n °1 au sein de l'Institut de Recherches Scientifiques n ° 88) créé par Joseph Staline (1878/1953) en mai 1946.

Korolev remporte la première manche de la compétition pour la conquête de l'espace avec le missile intercontinental Semiorka, opérationnel dès août 1957. Le Semiorka est dérivé directement de la fusée A4 puisque Korolev a assemblé quatre A4 autour d'une A4 centrale. Après combustion les réservoirs et moteurs latéraux sont largués et on a donc bien une fusée à étages. Les cinq moteurs-fusée brûlent un mélange de kérosène et d'oxygène liquide, chacun comprenant quatre chambres principales de combustion avec une tuyère par chambre.
Deux petits moteurs-fusée périphériques équipent chaque moteur extérieur, le moteur intérieur en recevant quatre. Leur rôle est d'affiner et corriger les poussées principales, d'où leur nom de moteurs vernier qui rappelle l'ingénieux système de mesure mis au point par le mathématicien Pierre Vernier (1580/1638) natif d'Ornans (comme Gustave Courbet (1818/1877)!).

Ces caractéristiques font du Semiorka le lanceur massivement utilisé le plus fiable.
la propulsion du Semiorka par 20 chambres principales de combustion


le Semiorka de Spoutnik à Soyouz

Semiorka a lancé les Spoutnik, puis les fusées lunaires Luna, puis Gagarine. Ce missile transformé en lanceur est un vrai succès. Sa carrière continue de nos jours puisque c'est encore lui, 60 années après sa mise au point, qui est à la base des fusées qui permettent de desservir la Station Spatiale Internationale à 400 km d'altitude.
 
30 diamètres terrestres les séparent

Conquérir la lune, mais comment?
D'abord, quelle trajectoire? Pas question de faire comme Jules Verne en 1905 avec un canon surpuissant ou comme Tintin en 1950 avec une fusée atomique qui se retourne pour alunir en douceur et revient comme elle est partie. La théorie dit qu'il faudrait lancer la fusée horizontalement avec une vitesse qui frise la vitesse de libération de l'attraction terrestre, soit, au niveau du sol, 11.18 km/s. Mais l’atmosphère terrestre constitue un obstacle et il faut adopter un décollage vertical dans les couches les plus denses puis une trajectoire progressivement horizontale, vers l'est pour profiter de la vitesse d'entraînement produite par la rotation terrestre.
Faire décrire à la fusée une orbite englobant terre et lune est le trajet le plus rapide mais il y a le risque qu'en cas d'imprécision la gravité lunaire ne l'envoie autour du soleil.
La solution la plus sûre, et aussi la plus économique en énergie, consiste à décrire, dans le sens direct, l'orbite elliptique à forte excentricité, de foyer le centre de la terre qui passera près du point L1 de Lagrange entre terre et lune puis à emprunter à partir de ce point, dans le sens rétrograde, l'orbite équivalente qui a le centre de la lune comme foyer. Le retour sera analogue mais, la lune parcourant son orbite autour de la terre à la vitesse d'1 km/s, l'effet d'entraînement le raccourcira légèrement. Le point de Lagrange se situe à une distance moyenne d'environ 326.000 km de la terre et 58.000 km de la lune. C'est le point de l'espace où les attractions des deux astres se contrebalancent et où la vitesse de la fusée s’annulerait: il marque le changement de courbure de la trajectoire. Dans la pratique les fusées passeront au voisinage du point de Lagrange avec une vitesse de l'ordre de 1 km/s.
Dans les figures ci-dessous l'arc de cercle en vert est celui décrit par le point de Lagrange (la distance terre-lune n'est pas à l'échelle).


de la terre à la lune en 3 jours
de la lune à la terre en 3 jours

La descente sur la lune, qui n'a pas d'atmosphère, se fera sur une trajectoire quasiment parabolique. La masse de la lune étant égale à 0.0123 fois celle de la terre et son rayon égal à 0.2725 celui de la terre, la vitesse de libération sur la lune, au sol, est égale à 11.18 * rac(0.0123 / 0.2725) = 2.38 km/s.
Ainsi, à l'aller il faut vaincre la résistance de l’atmosphère terrestre, atteindre la vitesse de libération de la terre puis à partir du point neutre annuler la vitesse de libération lunaire.
Le retour est identique sauf que l'annulation de la vitesse de libération terrestre peut être obtenu grâce à l’atmosphère.
On voit alors que la masse minimale à faire décoller de la terre s'obtient en appliquant le plus possible le principe des étages et, surtout, en ne faisant alunir et décoller de la lune que le minimum de masse.
D'où l'idée de découper en deux parties le vaisseau lunaire en laissant en orbite les consommables er équipements nécessaires à son retour sur terre et en ne faisant alunir que la masse minimale indispensable à la réussite de la mission sur la lune et à la remontée pour la réunion des deux parties sur l'orbite d'attente.
John Houbolt (1919/2014) ingénieur au Centre de Recherche de Langley a du batailler un an pour convaincre les responsables de la NASA du bien fondé de cette solution dont il avait eu l'intuition (et le physicien ukrainien Yuri Kondratyuk avant lui, voir le timbre reproduit ci-dessus!). En effet elle ajoutait une difficulté et un risque supplémentaires qui étaient de mener à bien le rendez-vous entre les deux parties du vaisseau lunaire en orbite autour de la lune, à près de 400.000 km de la terre. Cependant l'économie en énergie s'est trouvée déterminante et a conduit à une décision positive prise fin 1962.



Lunar Orbiter Rendezvous

Une fois la trajectoire choisie il faut reconnaître les dangers de l'espace. Des animaux, puis des hommes sont envoyés dans l'espace, d'abord à l'abri d'une capsule puis simplement reliés à celle-ci lors de sorties extra-véhiculaires. Rayons cosmiques, météorites, champs magnétiques apparaissent ainsi compatibles avec la vie humaine moyennant précautions.

Quant au sol de la lune, il fait d'abord l'objet de photographies de plus en plus rapprochées puis d'impacts violents et enfin d'explorations en douceur par des sondes automatiques: il supporte sans mal un objet lourd.

Les premières Luna russes et les premiers Pioneer américains connaissent des déboires à répétition et ne progressent que lentement. Les Soviétiques perdent peu à peu leur avance sur les USA et on peut considérer que les deux nations en compétition sont au coude à coude à partir de 1966, chacune épiant l'autre.
Le 13 juillet 1969, trois jours avant le décollage d'Apollo 11, les Russes enverront la sonde inhabitée Luna XV vers la lune et la mettront en orbite lunaire, affirmant qu'elle ne gênerait pas le vaisseau américain. Elle s'écrasera sur la lune le 21 juillet, sans que sa mission soit révélée, cet épisode consacrant l'avance américaine.

A la fin de 1959, Wernher von Braun et ses équipes d'ingénieurs et techniciens allemands sont appelés à quitter le Département de la Défense où ils mettaient au point les missiles balistiques Jupiter et Juno et à rejoindre la NASA. Deux ans plus tard, le projet de lanceur codé C 5 est retenu. Ce sera "Saturn V" (Jupiter et Juno, frère et sœur, et...époux, ont Saturne pour père...) et la mission s'appellera Apollo, fils de Jupiter et dieu de la lumière, de l'harmonie, des arts et des sciences...

L'architecture complexe de la fusée Saturn V se décompose en:

Un premier ensemble atteignant le voisinage de la lune (le train lunaire) d'une masse de 45 t comprenant: la capsule inerte qui reviendra avec les astronautes (masse: 6.5 t), son module de service motorisé chargé de la "restructuration", de l'orientation, du freinage lors de l'approche et de l'accélération pour le retour (masse: 24 t dont 18.5 t d'hypergols), le module lunaire composé de l'étage de descente (masse: 10 t dont 8 t d'hypergols) et de celui de remontée tous deux motorisés (masse: 4.5 t dont 2.3 t d'hypergols).

Un second ensemble chargé de la propulsion, composé du premier étage équipé de cinq moteurs F1 (masse: 2300 t dont 2150 t de kérosène et d'oxygène brûlés en 2.5 minutes), du deuxième étage équipé de cinq moteurs J2 (masse: 480 t dont 445 t d'hydrogène et d'oxygène brûlés en 6.5 minutes) et du troisième étage équipé d'un moteur J2 (masse: 107 t dont 96 t d' hydrogène et d'oxygène). Le troisième étage joue deux rôles: d'abord, en 2 minutes, il complète l'effet des deux premiers en circularisant l'orbite d'attente du train lunaire à 185 km d'altitude, puis c'est lui qui, en 5 minutes, l'injecte sur la trajectoire lunaire en ajoutant 3.14 km/s à la vitesse sur orbite pour atteindre une valeur proche de la vitesse de libération, 10.8 km/s. En 16 minutes de fonctionnement les trois étages envoient le train lunaire sur sa trajectoire.

la restructuration: à gauche le 3ème étage, à droite le train lunaire
Pourquoi une "restructuration"?
Au décollage la capsule des astronautes doit être au sommet de la fusée de façon qu'en cas d'explosion elle puisse être projetée loin au dessus du pas de tir et retomber hors zone. A cet effet la capsule est surmontée d'une tour de sauvetage (4.2 t) équipée de ses propres fusées de secours et larguée en même temps que le premier étage (cette tour n'a du être utilisée qu'une fois, en 1983, sur une fusée Soyouz).
Par ailleurs le nez de la fusée doit être conique pour un bon aérodynamisme dans l'atmosphère, notamment pour franchir le mur du son une minute après l'envol, et pour minimiser l'échauffement aux vitesses de mach 8 dans les basses couches à 50 km d'altitude.

Lors du retour sur terre c'est le fond de la capsule qui sera présenté à l'atmosphère pour le freinage et qui subira une abrasion du fait de la température atteinte. Son intégrité est donc primordiale. Le transfert des astronautes de la capsule vers le module lunaire ne peut donc pas se faire au travers du fond mais par le sommet, ce qui oblige à un retournement tête-bêche. Cette opération intervient au début de la trajectoire lunaire et le train lunaire se compose alors, dans l'ordre, du module de service prêt au freinage, de la capsule, du module de remontée et du module de descente.

écorché de Saturn V et entreprises concernées (crédit CAPCOMESPACE)


moteurs F1 du premier étage
moteurs J2 du deuxième étage (par Piotrus)
moteur J2 du troisième étage

les altitudes des orbites sont largement amplifiées
Herbert Pilcher in "La conquête de la Lune", peut écrire: "Au départ, Saturne V emportait une masse de 3.000 t. Tout ce qui revient de la lune est une capsule de 5.4 t...La fusée Saturne connaît donc un étrange destin: après avoir mis des années à naître, des mois à être construite, des semaines à être testée, elle voit finalement, en cours de vol, la majorité de ses éléments se disperser dans l'espace après une très brève période de fonctionnement".


"La terre trembla dans un rayon de 4 km...Avec une lenteur impressionnante, le monstre de 111 m de haut enleva ses 3.000 t de l'aire de lancement. Puis il gagna rapidement de la vitesse et, traînant derrière lui une langue de feu de 150 m, s'élança dans le ciel avec un bruit de tonnerre", cité par Pilcher.

Le succès complet des missions Apollo est le fruit de dix années d'une collaboration de plusieurs centaines de milliers de personnes emmenées par
Wernher von Braun et James Webb.
C'est un exploit scientifique incommensurable encore aujourd'hui.


Cependant, 50 ans après cette conquête, "la bille chauve qui nous nargue dans l'espace depuis l'aube des siècles,....un astre dont les paysages désolés, sans un arbre, sans une goutte d'eau à boire, sans la moindre bouffée d'air à respirer, évoquent plutôt les lendemains d'un effroyable cataclysme que les promesses d'un riant avenir" (André Fontaine, numéro du 22/07/1969 du journal "Le Monde"), n'intéresse plus!

Et Sirius, avatar d'Hubert Beuve-Méry (1902/1989), directeur du journal, se fait philosophe dans son éditorial du même jour:
"L'individu n'est, jusqu'à nouvel ordre, qu'un condamné à mort, seule l'espèce survit en reculant un peu plus chaque jour les bornes de sa puissance. De génération en génération, Sisyphe, joyeux, inquiet ou torturé, accomplit inlassablement son destin. Au lendemain de chaque triomphe, son propre mystère demeure pour lui, de tous, le plus immédiat et le plus impénétrable.
Pourra-t-il jamais cesser d'interroger son intelligence ou sa foi et de leur demander: "Oui, mais pourquoi?""



le jeu de l'oie Apollo pour sept joueurs n° 11 à 17...(NASA)

mardi 29 mai 2018

la mécanique céleste des satellites

Le 4 octobre 1957 à 22h58m, heure locale, un missile intercontinental soviétique Samiorka de 270 tonnes décolle de Baïkonour et hisse "spoutnik 1" à un périgée de près de 200 km d'altitude pour un apogée de 950 km d'altitude. La stupeur des terriens du Bloc de l'Ouest est complète!


Les lois de la mécanique céleste sont ainsi célébrées pour créer le premier satellite artificiel. Le demi grand axe de son orbite elliptique est d'environ 6950 km et sa période est donc de 96 minutes en application de la troisième loi de Kepler.

Le 16 juillet 1969, le lanceur Saturn V qui pèse plus de 3000 tonnes place sur une orbite circulaire d'attente dont la période est analogue, le "train lunaire" en partance, deux heures plus tard, pour la mission Apollo 11 chargée d'emmener un homme sur la lune à 383400 km de la terre.
Douze ans auparavant l'espace était vierge et sa pollution commençait.
Il a reçu depuis cette date la visite de plus de 5000 lanceurs qui y ont déposé leurs satellites et leurs cortèges d'étages de fusée et de débris de toute taille. Le rythme a été d'environ 200 lancements en 2017 sans compter les quelques 300 "CubSats" nano-satellites scientifiques de moins de 10 kg qui ne vivent qu'un à deux ans.

Cet engouement s'explique par les multiples intérêts du satellite. En orbite très basse il permet la téléphonie sur tout le globe, en orbite basse il est utile aux scientifiques: astronomes, physiciens, physiologues, agronomes, géographes, météorologues..., en orbite moyenne il sert à la géolocalisation, en orbite géosynchrone à la diffusion de programmes d'information, de culture et de divertissement et, à toutes les orbites, les militaires en sont friands.

Les conditions hostiles de l'espace limitent fortement la durée de vie en orbite d'un satellite, 15 ans en orbite géosynchrone, et le problème se pose de la gestion des satellites hors d'usage.
Pour dégager l'orbite géostationnaire il faut repousser ses occupants devenus inutiles sur une orbite de garage de plus grand rayon où ils accéderont à une sorte d'éternité limitée par les forces perturbatrices des autres corps du système solaire... Pour les orbites moyennes il faut les ralentir pour qu'ils descendent vers l'atmosphère terrestre et brûlent. Cela coûte du carburant et n'est généralement pas fait! Seules les orbites basses se nettoient d'elles mêmes par suite du frottement de l'atmosphère.

Les lancements se font généralement vers l'est pour profiter de la rotation de la terre sur elle-même. A l'équateur la vitesse de rotation est de 1674 km/h soit 0.465 km/s, ce qui représente 6% de la vitesse à atteindre pour se positionner sur une orbite basse à 200 km. A Kourou (5.23° de latitude) le gain est 0.463 km/s, à Cap Canaveral (28.45°): 0.409 km/s et à Baïkonour (46.25°): 0.322 km/s seulement. Il faut encore que les premiers étages ne retombent pas dans des zones habitées. Selon leurs latitudes les nations spatiales utiliseront des orbites diverses, plus ou moins complexes.

C'est Isaac Newton (1643/1727) qui a fondé la mécanique céleste en découvrant la loi de l'attraction universelle qui, à elle seule, est à la base des trois lois expérimentales découvertes en 1609 et 1618  par Johannes Kepler (1571/1630) (voir à ce sujet l'article en date du 01/05/2014 intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler").
Newton définit la masse, l'inertie puis la force et l'action / réaction et élabore ses "Principes", théorèmes publiés en 1687 et exposés en français par Voltaire (1694/1778) en 1738 seulement (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 23/02/2016 intitulé "l'aube de la science dynamique: Kepler, Galilée, Huygens, Newton et...Voltaire").
Newton démontre que dans un champ de gravité central, un corps attiré se déplace à une vitesse aréolaire constante (dans des temps égaux les surfaces couvertes par le rayon sont égales). C'est la "loi des aires".
Puis il montre que si la force exercée par un centre de masse m1 sur un corps de masse m2 est inversement proportionnelle au carré de leur distance, la trajectoire est une conique décrite en une période de révolution qui se calcule par la formule : T^2 = 4 * pi^2 * a^3 / ( G * ( m1 + m2 )) le demi grand axe est noté "a". G est la constante de gravitation universelle, grandeur de dimension m^3.s^-2/kg égale à 6.6726.10^-11.
Christian Gentili  dans son livre "Guide de localisation des astres" (2008) démontre que si la force centrale est inversement proportionnelle non pas au carré mais au cube de la distance, alors les trajectoires sont des spirales et il fait remarquer que les galaxies sont dotées de bras spiraux...

La loi fondamentale de la mécanique céleste est donc celle de l'attraction universelle: F = G * ( m1 * m2 / d^2 ) dont le "mode d'action perce tous les écrans et franchit toutes les distances" (Danloux-Duménils 1985).

Le plus souvent l'un des deux corps a une masse M considérable par rapport à celle de l'autre (c'est particulièrement le cas des satellites artificiels). Dans le référentiel basé sur ce corps on écrit donc F = G*M / d^2. Le produit G*M est la constante de la gravitation relative au corps central, dans la pratique soit géocentrique Gt (3.98600.10^14 m^3.s^-2) soit héliocentrique Gs (1.32712.10^20 m^3.s^-2). Pour tous les satellites du référentiel le carré de la période est proportionnel au cube du grand axe: Gi = 4 * pi^2 * a^3 / T^2.
C'est en négligeant leurs masses propres par rapport à celle de la terre que l'on peut énoncer la loi de la chute des corps: "tous les corps tombent à la même vitesse dans le vide".
Il en est ainsi dans l'ISS où la pesanteur terrestre est contrebalancée par la force centrifuge et où "chaque astronaute, chaque objet libre, chaque grain de sable (!) gravite pour son propre compte, sur la même orbite, et à la même vitesse que l'ensemble" (Danloux-Duménils).

anomalie vraie en rouge et anomalie excentrique en bleu
Sur l'orbite elliptique de demi grand axe a et d'excentricité notée "e", la loi des aires relie le temps écoulé depuis le sommet (péricentre), à l'angle polaire du satellite. Cet angle noté "v", dénommé "anomalie vraie" par Kepler, figure en rouge sur la figure ci-dessus. Le problème se résout en faisant un détour par l'angle au centre du point correspondant du satellite sur le cercle principal de l'ellipse, angle dessiné en bleu sur la figure ci-dessus, noté "E" et dénommé "anomalie excentrique" (!) par Kepler.
La géométrie montre que ces deux angles sont reliés par les relations
tan(v/2) = tan(E/2)*rac((1+e)/(1-e))   et   tan(E/2) = tan(v/2)*rac((1-e)/(1+e)).
Ainsi, connaissant une anomalie on sait calculer l'autre.
En vertu de la loi des aires, le temps, noté "t", est donné par l'équation transcendante de Kepler où T désigne la période:
t = (T/2pi)*(E - e * sin(E).
Connaissant l'anomalie vraie v on peut calculer E puis le temps.
Temps écoulé et position du satellite se déduisent donc l'un de l'autre par l'intermédiaire de l'anomalie excentrique.
Comme le signale Danloux-Duménils, ces formules s'appliquent encore à la trajectoire hyperbolique en ayant recours aux lignes trigonométriques hyperboliques argth(x)=(1/2)Log((1+x)/(1-x)) et sh(x)=(1/2)(e^x-e^-x) où e est le nombre d'Euler.
On utilise une variable analytique F, analogue à E mais sans signification géométrique, et déterminée par th(F/2) = tan(v/2)*rac((e-1)/(1+e)) et on se réfère à la période du mouvement elliptique dont la longueur de grand axe est la même que celle du mouvement hyperbolique.
Le temps est alors donné par
t = (T/2pi)*(e*sh(F) - F).

L'astronome Jérôme de Lalande (1732/1807) a notamment étudié les comètes et leur trajectoire parabolique. Dans son ouvrage "Abrégé d'Astronomie" paru en 1774, il présente le calcul du temps écoulé à partir de l'anomalie vraie.



les propriétés mirifiques de la parabole
C étant le point de la parabole déterminé par l'anomalie vraie v, on a (CH)^2 = 2*p*SH où p est le paramètre. On sait depuis Archimède que la surface du secteur parabolique tracé en rouge vaut les 2/3 de celle du rectangle SHC soit (CH)^3 / (3*p). L'aire du triangle hachuré vaut CH * (SH - SF) / 2, ce qui s'écrit (CH)^3 / (4*p) - (CH) * p / 4. L'aire en bleu clair parcourue par le rayon vecteur de la comète est la différence entre celle du secteur et celle du triangle soit (CH)^3 / (3*p) - (CH)^3 / (4*p) + (CH) * p / 4, soit en simplifiant (CH)^3 / (12*p) + (CH) * p / 4.
On sait aussi que la sous-normale HN est constante et égale au paramètre, et que la tangente coupe l'axe des x au point T symétrique du point N par rapport au foyer. Il en découle que l'angle en gris de centre N vaut v/2 et que (CH) = p * tan(v/2). Finalement on obtient:
aire(v) = ( p^2 / 12 ) * ( tan(v/2)^3 + 3tan(v/2) )
et la loi des aires qui s'écrit pour la parabole t = 2*aire / rac( Gi * p ) donne:
 t = (p^3/2 / (6*rac(Gi) ) ) * ( tan(v/2)^3 + 3tan(v/2) )

La loi des aires détermine encore la vitesse V sur l'orbite en fonction aussi bien du rayon vecteur que de l'anomalie vraie. Le demi grand axe a et l'excentricité e définissent une conique, la période T en découle. Le rayon vecteur r et l'anomalie v sont reliés géométriquement par l'équation générale de la conique: r = a*(1-e^2)/(1 + e*cos(v)) et on a:
V = rac( Gi / a) * rac( 2/r - 1/a) = rac( Gi ) * rac(( 1+e^2+2e*cos(v))/(1-e^2)).

On note que pour deux points de l'orbite symétriques autour du petit axe le produit des vitesses, égal au carré de la vitesse à ses sommets, vaut Gi / a (cette valeur est considérée comme la vitesse "moyenne") et que pour les points de l'une ou l'autre des extrémités du grand axe le produit de la vitesse par le rayon vaut rac(Gi*a*(1-e^2)).
On peut encore noter qu'il suffit de connaître en un point de la trajectoire le rayon et le vecteur vitesse pour pouvoir calculer celle-ci.


Les satellites artificiels obéissent à ces lois vis à vis de la terre, comme les planètes vis à vis du soleil.
Mais ils présentent un degré de liberté de moins car, au moment du lancement, ils sont à une distance obligée de R = 6378.14 km du foyer de leur orbite qui est le centre de la terre.
En pratique ils sont généralement propulsés par le lanceur sur une orbite circulaire très basse, de l'ordre de 200km d'altitude, notée "h" avant d'être injectés en une ou plusieurs étapes sur leurs orbites définitives. Le rayon de cette orbite est donc égal à R + h, et la vitesse sur cet orbite circulaire est égale à rac( G* M / ( R +h )) où M est la masse de la terre égale à 5.97364.10^24 kg. Compte tenu de la valeur de G cela s'écrit: V = rac( 398600 / ( R + h )) km/s.
Pour h = 0 le satellite rase la terre et sa vitesse (le minimum) vaut donc Vmih = rac( 398600 / 6 378.14 ) soit 7.9054 km/s. On appelle cette vitesse la première vitesse cosmique (bien qu'elle soit plus terrienne que cosmique!).
Cette vitesse minimum diminue quand l'altitude augmente: à 200 km elle vaut 7.7843 km/s.
Si, à l'altitude h on communique au satellite une vitesse, notée "Vh", perpendiculaire au rayon vecteur et dépassant la première vitesse cosmique, la trajectoire sera une ellipse dont les caractéristiques: apogée et période peuvent s'exprimer en fonction de cette vitesse :
l'apogée vaut ( R + h ) / ( 2 ( Vmih / Vh )^2 - 1 ),
la période 2pi * ( R + h ) * Vmih^2 / ( rac ( 2 * Vmih^2 - Vh^2 )^3 )
et l'excentricité ( Vh / Vmih )^2 - 1.
Ces formules montrent que si la vitesse atteint la valeur critique Vlih = rac( 2 )*Vmih l'apogée tend vers l'infini tout comme la période et l'excentricité vers 1: la trajectoire devient parabolique. Cette vitesse est la vitesse de libération à l'altitude h appelée deuxième vitesse cosmique. Au niveau du sol elle est de 11.18 km/s, à 200 km d'altitude, 11.009 km/s.
Une vitesse quasi parabolique a été retenue pour atteindre rapidement la lune tout en comptant sur l'attraction lunaire pour capturer les vaisseaux habités et leur éviter de devenir des planètes...
Pour une vitesse supérieure à la vitesse de libération, la trajectoire est hyperbolique et n'a que peu d'intérêt pour un satellite qui doit rester en contact avec la terre. Par contre de telles trajectoires sont utilisées par les sondes spatiales lancées dans le système solaire sans idée de retour.

La mécanique céleste sert de balance spatiale. Il y faut un système à deux étages: un corps principal très massif gouvernant un corps moyen autour duquel tourne un satellite de masse très faible. C'est le cas par exemple de l’ensemble soleil (masse M), mars (masse m période P demi grand axe a) et  deimos ou phobos (masse s période p demi grand axe b).
On écrit la loi du mouvement (mars + deimos) / soleil et celle du mouvement deimos / mars: a^3/P^2 = G(M+m+s)/(4pi^2) et b^3p^2 = G(m+s)/(4pi^2). Ce qui donne
(a/b)^3*(p/P)^2 = (M+m+s)/(m+s) = 1+M/(m+s).
En négligeant la masse du satellite s on a une très bonne approximation du rapport entre masse du soleil et masse de mars, soit 3098710. Ce rapport est de 1047 pour Jupiter et 328900 pour l'ensemble terre-lune.

On peut rappeler au sujet des satellites de mars découverts en 1877 que "Gulliver, en ses voyages (J. Swift, 1726), avait appris leur existence, et que Voltaire en reçut confirmation par un astronaute originaire de Sirius, nommé Micromégas (1752)" dixit Danloux-Duménils.

Si le satellite possède une masse non négligeable par rapport à la planète le centre du mouvement est le barycentre des deux corps. C'est le cas de la lune et de la terre puisque le rapport des masses est 1.23 %. La distance terre-lune étant de 383398 km le barycentre est à 4658.5 km du centre de la terre, c'est à dire à une profondeur sous la surface du sol de 1719.6 km, et à 378740 km de celui de la lune. La période théorique du mouvement de l'ensemble est égale à 2pi*rac(383398^3 / (398600*1.0123)) soit 2348180 s ou 27.178 jours. En réalité la lune subit l'attraction solaire et ne se déplace ni dans le plan de l'écliptique ni dans le plan équatorial de la terre: la valeur constatée de sa période est bien 27.322 j.

Arthur C Clarke (1917/2008), écrivain scientifique, auteur notamment de "2001, l'Odyssée de l'Espace", a proposé dès 1945 d'utiliser l'orbite géosynchrone pour y déposer des satellites stationnaires de télécommunications.
Le jour sidéral terrestre étant de 86164.096 s, la troisième loi de Kepler s'écrit: (Rgeo)^3 = 398600*86164.086^2/(4*pi^2) ce qui donne Rgeo = 42164 km. Cet orbite circulaire géosynchrone se situe donc à 35786 km d'altitude, ce qui est considérable et nécessite d'utiliser une orbite de transfert. Le périgée de cette orbite est la somme du rayon terrestre et de l'altitude de l'orbite circulaire très basse (6578.14 km par exemple) et son apogée 42164 km. Son demi grand axe est donc de 24371 km, son excentricité 0.73 et sa période 37863.5 s ou 10h31m4s.
Depuis l'orbite très basse il faut accélérer le satellite pour lui faire prendre l'orbite de transfert puis lorsque l'apogée de celle-ci est atteint l'accélérer de nouveau pour l'injecter sur l'orbite circulaire géosynchrone. Cette procédure est aujourd'hui ultra-classique. Au départ de l'orbite basse de 200 km d'altitude la vitesse qui est de 7.784 km/s doit passer à 10.239 km/s (+2.455 km/s) et à l'arrivée sur l'orbite géosynchrone la vitesse qui n'est plus que de 1.597 km/s doit passer à 3.075 km/s (+1.477 km/s).
Entre la première accélération et la seconde il s'écoule une durée égale à la moitié de la période de l'ellipse de transfert soit 5h15m32s.

mise en orbite d'un satellite géostationnaire, vitesse en rouge et temps en bleu en fonction de l'altitude

Les satellites dont la période est une fraction entière de 86164.096 s présentent l'intérêt qu'ils se retrouvent au même emplacement dans le ciel après un multiple de révolutions.
Le rayon de l'orbite semi-synchrone est égale à 26562 km et l'altitude du satellite est ainsi de 20184 km et sa vitesse de 3.874 km/s, la vitesse au périgée de l'orbite de transfert étant de 9.856 km/s et de 2.441 km/s à l'apogée . Par rapport à l'orbite synchrone on gagne 0.383 km/s (2.072 au lieu de 2.455 soit 15.6 %) pour l'accélération sur l'orbite basse mais seulement 0.044 km/s (1.433 au lieu de 1.477 soit 3 %) pour l'accélération sur l'orbite semi-synchrone.
Ces orbites sont utilisées pour les satellites de géolocalisation mais dans des plans inclinés sur l’écliptique.


l'orbite en rouge est géosynchrone, celle en bleu semi-synchrone, en noir la parabole

En gris est dessinée la trajectoire des Apollo vers la lune et en bleu une trajectoire hyperbolique pour les sondes spatiales quittant la terre.
En vert les orbites très hautes retenues pour le programme américain Vela de surveillance des essais nucléaires sur le globe terrestre dans les années 1970. Un écart de 10 m/s dans la vitesse d'injection, soit 0.1 %, réduit le rayon de l'orbite de 4 000 km soit 3.3 %...

Les orbites dans le plan équatorial présentent pour les pays de latitude élevée l'inconvénient de ne pas desservir l'ensemble de leur territoire. C'est le cas de la Russie. Les scientifiques russes ont donc développé une orbite elliptique semi synchrone fortement inclinée sur l'équateur pour desservir le nord de la Sibérie et de forte excentricité pour que le satellite soit visible pendant la grande majorité de sa révolution. C'est l'orbite Molnya ("éclair" en russe). L'inclinaison retenue est celle qui annule la dérive de la ligne des apsides due au bourrelet équatorial donnée par l'équation 5*cos(i)^2 - 1 = 0 soit 63.435°. Le grand axe vaut 25562 km comme déjà vu. On veut qu'à l'apogée, moment où le satellite va le moins vite, sa trace sur terre se déplace à la vitesse de la terre de façon à optimiser sa visibilité. Tous calculs faits il faut retenir une excentricité égale à 0.7377. Il en découle que le périgée est de 46155 km et le périgée de 6968 km soit une altitude de 590 km qui permet encore d'échapper à la plus grande part de l'effet du frottement de l’atmosphère. La vitesse à l'apogée, là où le satellite est le plus utile, n'est que de 1.50 km/s alors qu'au périgée elle est de 9.97 km/s. Le satellite contourne la terre dans l'hémisphère sud en 54 minutes et reste dans l'hémisphère nord plus de 11 heures sur les 11h58m de sa révolution. Belle illustration de la mécanique céleste!

en rouge l'orbite MOLNYA, en bleu l'orbite géo-synchrone, en gris les limites des satellites de géolocalisation
l'orbite MOLNYA de cinq minutes en cinq minutes

La trace du satellite sur la terre présente deux festons et deux croisements opposés à 180°. Au périgée sa vitesse angulaire est de 11 degrés par minute mais il faut habiter près du cercle polaire antarctique pour voir passer ce quasi météore...trois fois plus rapide que l'ISS.

la trace des satellites Molnya

Les satellites de géolocalisation et de surveillance sont d'autant plus performants qu'ils sont plus proches du zénith du lieu à localiser. Un relief accentué ou des obstacles de grande hauteur tels que des immeubles ne sont alors plus une gêne et la qualité est optimale. Mais la plupart des systèmes utilisent des orbites moyennement inclinées sur l'équateur et les latitudes élevées sont donc pénalisées.
Les Russes ont donc développé des orbites géosynchrones elliptiques inclinées : les orbites "tundra".
La trace sur terre d'un tel satellite n'est rien moins qu'un analemme analogue à celui du soleil mais encore plus déformé par une excentricité plus forte (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps"). Cette déformation permet de choisir la zone terrestre où le satellite sera le plus présent, de la même façon que pour l'orbite Molnya.
Les japonais développent en ce moment un tel réseau composé de trois orbites décalées de 120° de façon qu'au moins un satellite soit toujours proche du zénith de Tokyo. C'est le QZSS pour "quasi-zénith satellite system".
Les trois orbites sont inclinées de 41° sur l'équateur (la latitude de Sapporo au nord du Japon est de 43°) et leur excentricité est de 0.07504 avec un périgée de 39000 km et un apogée de 45328 km (soit, évidemment, un demi grand axe de 42164 km).

les satellites QZSS
En vert l'analemme trace unique des trois satellites QZSS sur les trois orbites géosynchrones elliptiques inclinées et en bleu foncé l'analemme pour un satellite sur une orbite géosynchrone circulaire inclinée d'autant (en bleu clair).

la danse des satellites: ils sont "quasi-géostationnaires"; en bleu clair la sphère de rayon 42164 km
pour chaque satellite l'apogée a lieu au maximum de sa latitude nord et le périgée au maximum de sa latitude sud
 
la course des satellites vue depuis l'étoile polaire...


les satellites ne se rencontrent pas au point d'inflexion

Les satellites se croisent tout près du point d'inflexion. Celui qui monte vers le nord passe le premier, celui qui descend est alors à 1340 km de lui. Puis les deux satellites sont au plus près à 405 km l'un de l'autre et celui qui descend vers le sud passe au point d'inflexion quand celui qui monte est à 1340 km de lui. Entre les passages des deux satellites au point d'inflexion il s'est écoulé 12m42s.
Le troisième satellite est alors au plus bas vers le sud.

la trace de l'orbite tundra de quart d'heure en quart d'heure
 Un satellite reste 8h par jour dans la petite boucle quasi zénithale. Avec trois satellites la qualité est donc permanente 24h sur 24.

le Japon a-t-il associé l'Australie à ce projet? (crédit JAXA)

La trace des satellites sur la terre est une variante de la courbe de l'hippopède d'Eudoxe où le cylindre tangent est remplacé par un cône tangent à la sphère (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps" déjà signalé).


une composition

mardi 17 avril 2018

l'avion, une machine à remonter le temps...

L'heure mondialisée est née à Paris grâce à Gustave Eiffel (1832/1923).


A sa naissance à Dijon, Gustave porte le nom de "Bonickhausen dit Eiffel" qui est celui de sa famille depuis qu'un ancêtre originaire de Marmagen, village de la région allemande de l'Eifel, frontalière avec la Belgique, a émigré en France au XVIII siècle. Son nom sera raccourci en "Eiffel" par jugement d'un tribunal de Dijon en 1880.
Cet ingénieur de Centrale connaît un destin extraordinaire d'entrepreneur en construisant dans le monde entier des ouvrages d'art utilisant la nouvelle technique des constructions métalliques. Son chef d’œuvre est la tour Eiffel érigée pour l'Exposition Universelle de Paris de 1889 célébrant le centenaire de la Révolution Française. 
Cette construction gigantesque conçue comme provisoire est un exploit du XIX siècle. La durée de la concession est de 20ans, elle expire donc le 31 décembre 1909.
En 1893 le scandale du Canal de Panama éclabousse, à tort, Eiffel alors à l'apogée de sa carrière d'ingénieur et d'entrepreneur.
Dès 1898 la situation élevée de l'ouvrage intéresse le futur général Ferrié (1868/1932) alors capitaine du génie, spécialiste des techniques naissantes de la télégraphie sans fil et fils d'un confrère et ami d'Eiffel. En 1904 Eiffel accepte de financer le "poste de télégraphie militaire" de la tour. Six câbles de 425m de long et de 5mm de diamètre sont installés depuis le sommet jusqu'à des arbres du Champ de Mars : la portée de ces antennes est de 400 km, puis elle atteint 5.000 km en 1907.

les antennes de 1904

En 1908 le Bureau des Longitudes et l'Observatoire de Paris, sous l'impulsion de son président Benjamin Baillaud (1848/1934), voyant dans ces expériences une solution précise et radicale au problème obsédant du calcul des longitudes, commencent à envoyer au monde entier depuis la tour un signal horaire, à minuit, heure de Paris, avec une précision d'un centième de seconde.

Devant tant de perspectives scientifiques, le 1er janvier 1910, la concession est reconduite pour 20 ans par la Ville de Paris.
Pendant la première guerre mondiale la tour a rendu d'éminents services à l'Armée, notamment en interceptant un mois après la déclaration de guerre allemande un message ennemi qui permettra  au général Galliéni (1849/1916) de déclencher le 8 septembre 1914, au bon moment, l'épopée des taxis de la Marne qui a permis de contenir l'avancée allemande.

Benjamin Baillaud est le président-fondateur en 1912 du Bureau International de l'Heure au sein de l'Observatoire de Paris. Aujourd'hui scindé en deux entités, le BIH est chargé  d'ajouter la seconde intercalaire éventuelle permettant d'aligner temps atomique et rotation de la terre.
Benjamin Baillaud fonde également l'Union Astronomique Internationale en 1919 à Paris. Le général Ferrié est président de la Commission Internationale des Longitudes.
La conférence de Washington du 22 octobre 1884 avait décidé que le méridien d'origine international serait celui de Greenwich et non pas celui de Paris. Eiffel et Ferrié ont permis à la France d'établir pour des années sa suprématie en matière d'astronomie et de trouver ainsi une sorte de revanche...

le temps coordonné
solstice d'été 3h50 UTC, lever de soleil à Greenwich et Madagascar (6h50)
solstice d'été 20h14 UTC, coucher de soleil à Greenwich et à Rio de Janeiro (17h14)
solstice d'hiver 8h4 UTC, lever de soleil à Greenwich et à Rio de Janeiro (5h4)
solstice d'hiver 15h49 UTC, coucher de soleil à Greenwich et à Madagascar (18h49)

Un voyage, bien choisi, en avion, permet de remonter le temps mais, bien sûr, provisoirement, car le temps gagné ne se conserve guère...

Il suffit par exemple de relier Tokyo à Londres en passant par le cercle polaire. Les coordonnées de Tokyo sont: latitude 36°, longitude -140°, celles de Londres: latitude 51°, longitude 0°. L'écart en longitude est de 140° soit 9h20m. Choisissons le jour du solstice d'été le 21 juin.

vol Tokyo-Londres

On peut emprunter la loxodromie, sorte d'hélice sphérique, qui se parcourt ici au cap constant de 81.5°, la distance est alors de 11300 km. Son trajet, dessiné en gris sur la figure ci-dessus, survole Almaty la grande ville du Kazakhstan (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 29/03/2016 intitulé "de la boussole au logarithme: la loxodromie").
De nos jours on suit le plus court trajet sur la sphère qui est le grand cercle passant par les points de départ et d'arrivée, c'est l'orthodromie (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 23/04/2016 intitulé "un tour en orthodromie"). Le trajet dessiné en rouge Tokyo-Londres se réduit alors à 9.590 km, soit un gain de temps de deux heures: 12 heures au lieu de 14 à 800 km/h.
Précision utile: ici on ne s'occupe pas de géopolitique...
Les coordonnées du point du vol de plus haute latitude, le vertex, s'établissent à  70.9° de latitude et -64.6° de longitude. Il est donc au delà du cercle polaire, dans la mer de Kara, à l'est de la Nouvelle Zemble (Nouvelle Terre en russe) où ont eu lieu les tirs des essais nucléaires de l'Union Soviétique.
Le trajet survole la ville de Norilsk, puis le port de Mourmansk.
Norilsk est la ville la plus septentrionale du globe, elle compte 170.000 habitants. Située à 69.35° de latitude, la nuit polaire s'installe le 25 novembre jusqu'au 18 janvier, la température moyenne est alors de -25°, mais à partir du 24 mai le soleil ne se couche plus avant le 20 juillet et la température moyenne atteint 14°. La ville connait neuf mois de neige par an.
Ce sont les richesses minières considérables du sous-sol, en nickel et palladium, qui expliquent cette implantation.
Elle a été fondée en 1935 comme camp de travail forcé sous le nom de Norillag et a été gérée par le Goulag (Glavnoïe OUpravlenïe LAGereï, Direction Générale des Camps) jusqu'en 1956.
On estime que 500.000 personnes y ont travaillé et que 100.000 y ont trouvé la mort.


Pour la commodité on ne parle ici que d'heure solaire, c'est à dire de l'heure qui se déduit du fait qu’en un lieu donné le soleil passe plein sud à 12h.

L'avion décolle de Tokyo à 17h34 heure locale, il est 8h14 UTC à Londres. Au décollage l'azimut du soleil est de 106°, sa hauteur de 19°. Le pilote automatique de l'avion, tous calculs faits, fixe le cap de départ au nord-nord-ouest à 24°. Au cours du trajet ce cap augmentera régulièrement, il sera de 90° au vertex et de 149° à l'arrivée à Londres. A tout instant le pilote automatique, à partir de la latitude notée "lat" de l'avion donnée par GPS, connait le cap à suivre par la formule sin(cap) = cos(70.9) / cos(lat).
Pendant tout le voyage il va y avoir une course entre la nuit qui gagne l'Asie puis l'Europe et l'avion qui fuit devant elle.

D'abord tout est normal: le soleil se rapproche de l'horizon, son azimut augmente. Après 1 heure et 40 minutes de vol, à 19h14, heure lue sur la montre des passagers, le soleil se couche à Tokyo. Au sol, aux environs du nouveau cosmodrome de Vostotchny, il est 18h45.

la nuit commence à l'aéroport de départ, dans l'avion la soirée va être longue

Après 3h20m de vol, à 20h54, la hauteur du soleil qui est de 6.8° cesse de diminuer, le soleil va entamer une lente et légère remontée pendant cinq heures. Il est 19h43 au sol. La latitude de l'avion est de 57°.

le soleil refuse de se coucher

En approchant 66° de latitude il va se passer un phénomène curieux: l'heure au sol va reculer.

l'avion franchit le cercle limite: il commence à remonter le temps!

En effet la composante est/ouest de la vitesse notée V de l'avion est égale à: V * sin(cap), ce qui s'écrit, compte tenu de la formule donnant le cap en fonction de la latitude: V * cos(70.9) / cos(lat). Pour la latitude lat la longueur du parallèle est égale en kilomètres à: 2pi * 6378 * cos(lat). La longueur de l'arc pour une heure est donc de 2pi * 6378 * cos(lat) / 24.
Il existe ainsi une valeur de la latitude pour laquelle, en une heure, l'avion franchit un fuseau horaire. Au delà, il franchira un fuseau horaire en moins d'une heure!
L'équation est la suivante: cos^2(lat) = V * cos(70.9) * 24 / (2pi * 6378). Pour une vitesse V de 800 km/h cette latitude critique est égale à 66.65°, valeur qui se trouve être très proche de celle du cercle polaire 66.56°.
Ainsi tant que l'avion reste à l'intérieur du cercle de latitude 66.65°, l'heure au sol recule, l'avion allant, en quelque sorte, plus vite que le soleil...
Il entre dans ce cercle à 22h48, heure de l'avion, après 5h14m de vol et 4.190 km parcourus, il est 20h14 au sol.
Une heure et 12 minutes plus tard, il est minuit dans l'avion et à Tokyo, et 20h1 au sol. L'avion est remonté dans le temps de 13 minutes.

l'avion est au vertex, le cap est de 90°, la latitude va diminuer


L'avion passe au vertex à 0h44, heure de l'avion (le 22 juin) après 7h10m de vol et 5730 km parcourus, le cap est plein ouest, la latitude va décroître, il est 19h42 au sol. C'est le maximum d'intensité dans le recul de l'heure: la courbe représentant l'heure au sol connait son point d'inflexion. Il en est de même pour le cap et la longitude.

l'avion sort du cercle critique, l'heure au sol va ré-augmenter

L'avion ressort du cercle limite à 2h38, heure de l'avion, après 9h4m de vol et 7.270 km parcourus, il est 19h10 au sol! L'avion a passé 1h54m au delà du cercle de latitude 66.65° et l'heure au sol est passée de 20h14 à 19h10, soit un recul d'une heure et 4 minutes!
Pendant ce trajet à l'intérieur du cercle limite, l'avion a atteint Norilsk à 23h35, heure de l'avion, au kilomètre 4820. Il est alors 20h8 à Norilsk.
Puis il a atteint Mourmansk à 2h18, heure de l'avion, au kilomètre 6990. Il est alors 19h11 à Mourmansk.
Le passager embarqué à l'escale de Norilsk à 20h8 débarque à Mourmansk à 19h11: il arrive 57 minutes avant d'être parti...
Ceci parce que son avion a volé bien plus vite que le soleil. La distance Norilsk/Mourmansk de 2140 km a été parcourue en 2h42m alors que l'écart de longitude entre les deux villes de 54.8° demande  3h39m au soleil à raison de 15° par heure, soit 57 minutes de plus!
L'arrivée à Londres est prévue à 20h13. Un passager pour Londres embarqué à Norilsk à 20h8 arrivera donc à destination 5 minutes après son départ, ce qui est fort peu pour couvrir 4.760 km!

paramètres du vol Tokyo-Londres
Les courbes représentant la géométrie du vol, soit la longitude, la latitude, le cap et l'heure locale présentent une symétrie par rapport au vertex. Celles prenant en compte le mouvement du soleil, soit son azimut et sa hauteur, subissent une déformation en raison de sa course.
 
Mais toute cette remontée dans le temps sera rattrapée dans la suite du voyage qui se termine par un atterrissage au moment du coucher du soleil à Londres à 20h13 UTC. Il est 5h33 du 22 juin à Tokyo. Le vol a duré 12 heures, la journée du 21 juin n'est pas terminée pour les voyageurs japonais, il leur faut attendre encore 3h47m avant de passer au 22 juin. Le décalage horaire de 5h33 + 3h47m = 9h20m correspond bien à l'écart de longitude de 140°.

atterrissage au coucher du soleil, la nuit a rattrapé l'avion


Un calcul simple montre qu'un avion suivant un cap à l'ouest à la latitude de 61.4° et à la vitesse de 800 km/h vole à la vitesse du soleil et que l'heure au sol survolé est alors constante.
Plusieurs villes d'Europe du nord connaissent ce phénomène: Saint-Pétersbourg, Helsinki, Stockholm, Oslo, Reykjavík...On peut aller "instantanément" d'une ville à une autre située plus à l'ouest!

A l'équateur il faudrait voler deux fois plus vite.
En effet le périmètre équatorial de la terre est de 40.075 km (un peu plus que le périmètre le long d'un méridien retenu par les Révolutionnaires pour la définition du mètre) et la rotation sidérale terrestre de 23h56m4.3s et il vient donc : 40.075 / 23.934 = 1.674.4 km/h.

Les sites de lancement de satellites dans l'espace sont aussi proches que possible de l'équateur pour pouvoir profiter d'autant plus de l'effet de fronde dû à la rotation terrestre.

Et, puisque c'est la terre qui tourne et non pas le soleil, les lancements se font vers l'est.



Kourou latitude 5.23° nord