La géométrie dans un plan, c'est facile et ludique: il suffit de dessiner!
Mais pour comprendre les phénomènes astronomiques il faut ajouter une troisième dimension, ce qui implique un niveau d'abstraction supplémentaire. Quant à la quatrième dimension c'est encore bien pire...
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| Ptolémée, de dos (?), par Raphaël (1483-1520), l’École d'Athènes, Vatican |
Heureusement il existe pour aider l'astronome une technique simple basée sur le principe du rabattement. Il s'agit de dessiner sur un même plan de référence, ce qui se passe dans d'autres plans en les faisant tourner autour d'axes judicieusement choisis. Les Grecs connaissaient bien cette technique et l'ont transmise aux astronomes et mathématiciens de la Renaissance. Les taupins, jusque dans les années 1960, l'apprenaient et la pratiquaient sous le nom de géométrie descriptive (ou "descro", matière aussi désuète que le calcul numérique ou "cul nu"!).
On va décrire ici le cheminement suivi pour réduire les problèmes de la géométrie dans l'espace à des problèmes de géométrie plane.
D'abord on choisit de montrer la sphère céleste telle qu'elle se présente en un lieu donné en projection sur le plan méridien du lieu, depuis un point situé à l’Est de ce lieu. On choisit encore de retenir l'instant où le plan de l'écliptique est perpendiculaire au plan méridien.
On appelle colure des solstices le cercle horaire qui contient les solstices. Le mot "colure" est la contraction de deux mots grecs: "kolos" qui signifie "tronqué" et "oura" qui signifie "queue". En effet la moitié de ce cercle horaire qui se trouve sous l'horizon est invisible.
Le plan de projection ainsi retenu est alors le plan du colure des solstices: c'est le plan de référence; le plan du colure des équinoxes lui est perpendiculaire et est vu de champ.
Le point de vue peut être choisi soit sur la sphère céleste elle-même, la projection est alors stéréographique, soit à l'infini, la projection est alors orthographique, soit en un point intermédiaire judicieusement choisi.
Ces projections sont très fécondes, pour les cadrans solaires et pour les astrolabes universels.
L'orthographique est celle du "Traité de l'Analemme" de Ptolémée (100-168) qui servait pour les Grecs et les Romains à construire les cadrans solaires d'heures inégales. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le Traité de l'Analemme par Ptolémée" et celui du 15/10/2014 intitulé "L’énigme des heures inégales".
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| Ptolémée par André Thivent |
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| carte du monde connu reconstituée au XVe siècle à partir du texte de Ptolémée |
La Composition Mathématique, désignée souvent par son nom d'origine arabe l'Almageste, œuvre princeps de Ptolémée, et sa Géographie, ont gouverné la Science pendant quinze siècles.
L'introduction du point équant rendait presque parfaitement compte des observations courantes des planètes. Mais la perspicacité de l'astronome danois Tycho Brahé (1546-1601), observateur hors pair, va permettre au mathématicien allemand Johannes Kepler (1571-1630) de découvrir les véritables lois régissant le mouvement des planètes. Voir à ce sujet l'article du 1er mai 2014 intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler".
Les inventeurs des astrolabes universels, c'est à dire indépendants de la latitude du lieu, ont utilisé ces projections: la stéréographique notamment pour l'astronome espagnol Arzaquiel (1029-1087) et ses disciples pour construire la "saphaea", l'orthographique pour l'astronome espagnol Juan de Rojas en 1551 et, enfin, l'intermédiaire pour l'astronome français Philippe de La Hire (1640-1748) en 1701. Voir à ce sujet l'article du 24 avril 2015 intitulé "Les astrolabes universels".
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| réplique d'un astrolabe du type Arzaquiel, construite et commercialisée par l'astrolabiste suisse Martin Brunold |
On utilise ici la projection orthographique depuis le point gamma de l'espace. La sphère céleste donne un cercle, dessiné en gris sur la figure ci-dessous établie pour un lieu de latitude 32°, soit les environs d'Alexandrie. L'écliptique, vu de champ, est un segment, dessiné en orange, faisant un angle de 23.44° avec l'équateur céleste et dont les deux extrémités sont le solstice d'été vers le zénith et le solstice d'hiver vers le nadir. Sont notés le sud, le nord, le segment de l'horizon, le zénith, le pôle nord, l'axe polaire et l'équateur céleste en rouge, sous l'horizon: le nadir et le pôle sud.
Le décor est en place.
Retenons la date du 11 novembre.
Les développements seront ici limités au seul soleil mais ils s'appliquent à n'importe quel astre.
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| la longitude du soleil en orange, sa déclinaison en vert clair et son ascension droite en gris |
La déclinaison, notée d, en découle puisque le parallèle parcouru par le soleil coupe le cercle de référence au point qui la détermine. Elle vaut -17.6° ce que confirment les éphémérides (on peut noter qu'à la date du 30 janvier, le soleil a la même déclinaison et se trouve donc au même emplacement sur la figure). Le parallèle coupe l'axe polaire au point noté delta et la longueur du segment gamma-delta vaut sin(d).
L'ascension droite, notée aS, en découle aussi. En effet le rabattement du parallèle du soleil donne le cercle dessiné en noir de rayon cos(d). La perpendiculaire au parallèle élevée depuis le soleil coupe ce cercle au point figurant l'ascension droite, valant ici 227° soit 15h7m, ce que confirment les éphémérides. Par construction la longueur du segment delta-SOLEIL vaut sin(aS)cos(d). Par similitude de rapport 1/cos(d) on établit le point alpha figurant l'ascension droite sur l'équateur. la longueur du segment gamma-alpha vaut sin (aS).
En une journée, longitude et ascension droite varient en moyenne de 360/365 = 0.97 degré ou 3.9m.
On peut maintenant passer au déroulement de la journée du 11 novembre.
Au cours de la journée le soleil décrit sur la sphère céleste le parallèle dessiné en jaune pour la partie diurne et en gris pour la partie nocturne sur la figure ci-dessous.
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| les rabattements sur le plan du colure des solstices |
Au moment de l'observation le soleil occupe une certaine position notée soleil sur la figure ci-dessus. La projection de ce point sur le plan de référence donne S' et permet de définir deux axes de rabattement passant par ce point: le premier parallèle à l'axe horizontal nord-sud et le second parallèle à l'axe polaire, qui est aussi l'axe horaire 0h/12h.
Le cercle en bleu, rabattement sur le plan de référence suivant l'axe horizontal, est le cercle de hauteur, son rayon est égal au cosinus de la hauteur, notée h, et varie au cours de la journée; l'angle en bleu est l'azimut, noté A.
Le cercle en rouge, rabattement suivant l'axe horaire, est le cercle horaire, son rayon est égal au cosinus de la déclinaison d et est considéré comme fixe au cours de la journée; l'angle en rouge est l'angle horaire, noté H, notion qui exprime l'heure par rapport à midi (15 degrés = 1 heure).
Par construction, les points A1 et H1, images des rabattements du soleil, sont tels que SS' = S'A1 = S'H1, ce qui est explicité par le cercle en gris dont le rayon s'exprime de deux façons: sin(A)cos(h) ou bien sin(H)cos(d). Ces deux produits ne sont autres que l'expression de la distance du soleil au plan de référence. En effet ils représentent la même coordonnée dans le système des coordonnées horizontales et dans celui des coordonnées équatoriales, systèmes qui dérivent l'un de l'autre par la rotation d'un angle égal à la valeur de la latitude autour de la direction du point gamma. Voir à ce sujet l'article du 12 novembre 2015 intitulé "Le traité de l'Analemme par Ptolémée".
Retenons comme instant 14h56, heure solaire.
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| on obtient graphiquement les valeurs de l'azimut, en bleu, et de l'angle horaire , en rouge. |
On reporte alors sur le dessin de la sphère céleste sur le plan de référence les valeurs des angles obtenus:
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| les quatre coordonnées du soleil |
On a les égalités suivantes: OD = -sin(d), OA = cos(A), OH = cos(H) et Oh = sin(h). Les longueurs des segments reliant le centre à ces quatre points varient au cours de la journée et suivant le calendrier de façon inter-dépendante.
On retrouve facilement de manière graphique les formules de la
trigonométrique sphérique régissant cette inter-dépendance:
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| les quatre segments représentant sin(d), sin(h), cos(A) et cos(H) |
Dans le triangle SDE' on a SD = tan(la)(OD+OE') = tan(la)(-sin(d)+sin(h)/sin(la) et dans le triangle ShE, Sh = tan(la)(Oh+OE) = tan(la)(sin(h)-sin(d)/sin(la)). Il en découle les formules liant h, d et H ou d, h et A:
sin(h) = sin(la)sin(d)+cos(la)cos(d)cos(H) et sin(d) = sin(la)sin(h)+cos(la)cos(h)cos(A).
tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(la)-cos(la)tan(d)) et tan(H) = sin(A)/(cos(A)sin(la)-cos(la)tan(h)).
Ces formules ne sont rien moins que les équations du parallèle décrit par le soleil:
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| hauteur, en noir, et azimut, en bleu, en fonction de l'angle horaire, de 10 jours en 10 jours entre les solstices |
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| ellipses (en pointillé) des projections du méridien du soleil et du cercle horaire |
Il est très facile de trouver par la géométrie plane les caractéristiques de la course du soleil pour la journée:
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| caractéristiques de la journée du 11 novembre à Alexandrie (en heures solaires) |
Les azimuts au lever (-69°) et au coucher (+69°) sont les points d'intersection avec le cercle de référence de la verticale passant par le point L. Les hauteurs maximale (40°) et minimale (-76°) s'obtiennent par la projection sur l'axe vertical des extrémités du parallèle décrit par le soleil. On constate ici combien l'astronomie d'amateur est plutôt un "sport d'hiver" puisque c'est pendant cette saison que les nuits noires sont les plus longues!
Soit X le point où se coupent la perpendiculaire à l'équateur élevée depuis le point marquant 0h et le rayon d'angle égal à la déclinaison. Soit Y le point d'intersection de la parallèle à l'équateur passant par X et de l'axe vertical. La droite XY, située à une distance égale à tan(d) de l'équateur, coupe l'axe horizontal en K. La perpendiculaire en K au parallèle du soleil coupe alors le cercle de référence aux heures de lever (6h45) et de coucher (17h14) du soleil puisque la distance du point K à l'axe polaire est égale à tan(la)tan(d).
Soit Z le point d'intersection de l'équateur et la perpendiculaire à XY passant Y. La longueur du segment OZ est alors égale à tan(d)/tan(la). Il en découle que la droite YZ coupe le cercle de référence aux heures de passage à l'est (3h58) et à l'ouest (20h01).
Mais il y a encore plus simple pour connaître les heures de lever et de coucher et celles des passages à l'est et à l'ouest.
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| la proportionnalité de valeur cos(d) |
Les droites joignant les extrémités du parallèle parcouru par le soleil à celles de l'équateur céleste concourent sur l'axe polaire. En menant depuis ce point la droite passant par le point L marquant les lever et coucher on détermine le point J sur l'équateur puis, perpendiculairement, les heures de lever et de coucher sur le cercle de référence. En procédant de la même façon pour le point E sur la verticale on détermine le point Z puis les heures des passages à l'est et à l'ouest.
En effet les longueurs des segments DL, sin(d)tan(la) et OJ , tan(d)tan(la) sont dans une proportion égale à cos(d) et il en est de même pour les segments DE, sin(d)/tan(la) et OZ, tan(d)/tan(la).
Toutes ces heures sont des heures solaires, système d'heures dans lequel, par convention, chaque jour le soleil culmine à midi juste. En effet, jusqu'au boom ferroviaire des années 1840 chacun voit midi à sa porte et chaque lieu a son heure réglée sur le cadran solaire.
Par ailleurs il s'agit ici d'un soleil réduit à son centre et non affecté par la réfraction atmosphérique, ce qui induit un raccourcissement du jour de plusieurs minutes par rapport à la réalité des observations.
"L’engrenage magnifique qui s'appelle le monde", Oasis Interdites, 1937, Ella Maillart (1903-1997)
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| astronomes au travail sous le regard impatient de la muse Astronomie à la droite de cette tapisserie du XVIe siècle |
Un autre intérêt de la figure réside dans le fait qu'elle permet, en un lieu de latitude connue, de résoudre graphiquement les douze problèmes fondamentaux de l'astronomie de position.
Si l'on connait la déclinaison, c'est à dire le jour de l'observation, il existe six problèmes car la donnée d'une seule autre coordonnée détermine les deux restantes:
1 et 2. la hauteur étant donnée, déterminer l'heure et l'azimut,
3 et 4. l'heure étant donnée, déterminer l'azimut et la hauteur,
5 et 6. l'azimut étant donné, déterminer la hauteur et l'heure.
Si, au contraire, on recherche la déclinaison, c'est à dire le jour, il existe trois problèmes car il faut connaître deux autres coordonnées:
7. à partir de l'heure et de la hauteur,
8. à partir de la hauteur et de l'azimut,
9. à partir de l'azimut et de l'heure.
Si on ne connait pas la déclinaison et si on veut un résultat direct il existe trois autres problèmes:
10. déterminer l'heure à partir de la hauteur et de l'azimut,
11. déterminer la hauteur à partir de l'azimut et de l'heure,
12. déterminer l'azimut à partir de l'heure et de la hauteur.
Si la déclinaison est connue, une seule coordonnée est nécessaire pour les connaître toutes :
1 et 2 A partir de la hauteur, la détermination de l'heure et de l'azimut résulte de la construction de la figure: elle coule de source à partir du cercle de hauteur et du cercle horaire.
3 et 4 A partir de l'heure, pour la détermination de l'azimut et de la hauteur, il faut d'abord construire par parallélisme le point H1 sur le cercle horaire puis sa projection sur le parallèle décrit par le soleil. On obtient ainsi la position du soleil et donc son azimut et sa hauteur.
5 et 6 Pour ces deux problèmes où la coordonnée connue est l'azimut, il faut faire une construction préliminaire propre à chacun d'eux.
5 Pour la détermination de la hauteur à partir de l'azimut, supposant le problème résolu, on note que dans le triangle hh0E la tangente, notée t1, de l'angle hh0E vaut (hO+OE)/cos(h). Mais Oe vaut -sin(d)/sin(la). On a donc t1 = (sin(h)-sin(d)/sin(la))/cos(h). Remplaçant alors sin(d) par sa valeur soit sin(la)sin(h)-cos(la)cos(h)cos(A) et après simplification il vient t1 = cos(A)/tan(la).
Or il est facile de déterminer le point V de l'axe horizontal nord sud tel que dans le triangle OVE la tangente de l'angle OVE soit égale à t1. En effet le segment OL valant sin(d)/cos(la), la perpendiculaire à l'axe OL élevée en L coupe la droite matérialisant l'azimut au point N tel que ON = sin(d)/(cos(A)cos(la). Le point N donne alors le point V tel que la tangente de l'angle OVE vaut t1. La droite EV coupe donc le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.
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| la hauteur à partir de la déclinaison et de l'azimut |
6 Pour la détermination de l'heure à partir de l'azimut, supposant encore le problème résolu, on note que dans le triangle H0ZH, où H0 est la marque de l'angle horaire sur le cercle de référence, la tangente de l'angle H0ZH, notée t2, vaut sin(H)/(cos(H)+OZ) Mais OZ vaut -tan(d)/tan(la). On a donc t2 = sin(H)/(cos(H)-tan(d)/tan(la)). Remplaçant alors sin(H) par sa valeur soit tan(A)(cos(H)sin(la)-tan(d)cos(la)) et après simplification il vient t2 = tan(A)sin(la).
Or, là encore, il est facile de déterminer sur le segment AA0 le point U tel que dans le triangle UOA la tangente de l'angle UOA soit égale à t2. En effet il suffit de construire le triangle isocèle de sommet A, d'angle au sommet 90°-la et dont les cotés égaux valent cos(A). Dans ce triangle le pied U de la hauteur abaissée sur le coté AA0 est tel que cos(90°-la) = AU/sin(A). La tangente de l'angle AOU vaut alors tan(A)sin(la) soit t2. On construit alors les points X et Y qui donnent le point Z. La droite passant par Z et faisant un angle égal à l'angle AOU avec l'équateur coupe le cercle de référence au point qui détermine l'angle horaire.
On peut remarquer que t1 et t2 sont les tangentes des angles auxiliaires utilisés pour résoudre les problèmes 5 et 6 par l'emploi des formules de trigonométrie.
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| l'heure à partir de la déclinaison et de l'azimut |
Connaissant la déclinaison, c'est à dire le jour, la donnée d'une coordonnée détermine donc graphiquement sans difficulté les deux autres.
Si on recherche la déclinaison deux coordonnées sont nécessaires.
7 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celle du problème 5, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points E, L et V étant remplacés par les points équivalents E', L' et V', la droite E'V' coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison.
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| la déclinaison à partir de l'heure et de la hauteur |
8 Si on connait la hauteur et l'azimut, la position du soleil et donc sa déclinaison sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
9 Si on connait l’azimut et l'heure, on détermine comme pour le problème 6 la position du point U ce qui permet de construire le point Z puis le point Y puis le point X . La droite OX coupe le cercle de référence au point qui détermine la déclinaison. Là aussi les angles auxiliaires utilisés sont ceux qui permettent la résolution des problèmes 7 et 9 par l'emploi des formules de trigonométrie.
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| la déclinaison à partir de l'azimut et de l'heure |
Si, sans chercher à connaître la déclinaison, on dispose de deux coordonnées, on peut déterminer la quatrième.
10 Si on connait la hauteur et l'azimut, comme pour le problème 8, la position du soleil et donc l'heure sont évidentes à partir du cercle de hauteur.
11 Si on connait l'azimut et l'heure, la solution est analogue à celles des problèmes 6 et 9, les deux couples de coordonnées étant interchangeables. Les points U, Z, Y et X étant remplacés par les points équivalents U', Z', Y' et X', la droite OX' coupe le cercle de référence au point qui détermine la hauteur.
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| l'azimut et l'heure donnent directement la hauteur |
12 Si on connait l'heure et la hauteur, la solution est analogue à celles des problèmes 6, 9 et 11. La hauteur donne les points X', Y' et Z', l'heure donne la valeur de l'angle U'OH, d'où depuis Z' le point du cercle de référence qui détermine l'azimut.
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| l'heure et la hauteur donnent directement l'azimut |
Cet outil rend ainsi facilement compte des mouvements des astres: il met l'astronomie de position et le calcul des coordonnées célestes à la portée de tous les géomètres.
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| arabesque librement inspirée de Joukowski |
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| triton et nymphe, la joie et l'émotion de la découverte!... Jean Goujon 1549 Le Louvre |
