l'orbite de la Lune autour de la Terre: des contorsions toujours renouvelées

Quoi de plus calme et romantique!

Jean Taillé in "La Terre et la Lune" PUF 1960:

"Arago (1786/1853) rapporte quelque part ce dialogue entre Hassenfratz (1755/1827) et un élève de l’École Polytechnique qu'il interrogeait:
- Monsieur avez-vous vu la Lune?
- Jamais Monsieur.
- Comment, vous dites que vous n'avez jamais vu la Lune?
- Non, jamais, Monsieur. Mais je dois dire que j'en ai déjà entendu parler."

Les plus belles phases du disque lunaire commencent avec un fin croissant qui suit le soleil avant qu'il se couche et devient deux semaines plus tard la pleine lune, celle-ci se transformant en un croissant inversé qui précède le soleil avant qu'il se lève. Enfin la lune, trop proche du soleil, devient invisible pendant deux jours avant de renaître avec la nouvelle lune.

le 6 janvier 2019 la lune éclipse le soleil à partir de 23h34 UTC

Comment les anciennes civilisations expliquaient-elles ces déformations? La Bible ne parle qu'un petit luminaire non fondamentalement différent du grand...
L'origine de la lumière lunaire et des phases est reconnue dès le 7ème siècle avant J.-C. par Thalès de Milet (-625/-547) comme l'effet miroir de la lumière du soleil.
Thalès fait partie des Sept Sages présocratiques et compte comme le premier géomètre de l'Histoire; il aurait notamment calculé, grâce à son théorème, la hauteur de la Grande Pyramide (147 m).
Le flux lumineux renvoyé du soleil par la lune est douze fois plus important à la pleine lune que lors des quartiers! La partie non éclairée directement lors des toutes nouvelles ou très vieilles lunes reçoit encore la lumière du "clair de Terre" qui est alors à son maximum (quatre fois le clair de lune) et la renvoie à nouveau vers la Terre pour donner à cette partie de la lune son aspect grisâtre dit cendré.
On a vite noté que la révolution synodique moyenne du retour des phases est de 29.5306 jours. L'astronome grec Méton (Ve siècle avant J.-C.) a mis en évidence en 432 avant J.-C. le cycle de 19 ans qui fait revenir après 235 lunaisons la même phase au même jour de l'année à moins de deux heures près: 19 * 365.25 = 6939.75 jours et 29.5306 * 235 = 6939.69 jours. Cette "découverte" fut gravée en lettres d'or sur le mur du temple d'Athéna et le rang d'une année dans le cycle de Méton porte alors le nom de nombre d'or de l'année. Par convention l'an 1 de l'ère chrétienne porte le numéro 2. Le nombre d'or de l'an 2018 est donc 5. Le comput ecclésiastique utilise cette notion, entre autres, pour le calcul de la date de Pâques...

carte du monde grec d'Hécatée de Milet (Ve siècle av. J.-C.) reconstituée par Saint Pol Prius Lendering Wikipedia

En 29.53 jours solaires la lune fait 28.53 tours de la terre. Le jour lunaire vaut donc en moyenne 29.53 / 28.53 jour solaire soit 1.035. Chaque jour la lune prend ainsi un retard moyen de 0.035 * 24 heures soit 50 minutes. D'un jour à l'autre, elle recule donc par rapport au fond du ciel d'environ 13.2° et d'une heure à l'autre d'un peu plus (33') que son diamètre apparent (31.1').
De la nouvelle lune à la pleine lune l'astre s'écarte du soleil et s'en rapproche ensuite. Son mouvement propre a pour conséquence que, à chaque lunaison, pour un jour voisin du premier quartier il n'y a pas de coucher de la Lune et qu'il n'y a pas de lever de la Lune pour un jour voisin du dernier quartier...

Ce cycle de 29.53 jours est à l'origine de la définition de la période du mois (anglais: moon ---> month) et a conféré au nombre douze un rôle éminent. Le calendrier musulman définit l'année comme la durée de douze lunaisons soit 354 ou 355 jours. Il en découle que 34 années musulmanes représentent 33 années occidentales.
La durée de la lunaison vraie varie de moins de 1% (sept heures) et dépend de la vitesse des deux astres sur leurs orbites. Les plus longues lunaisons se produisent quand la terre, plus rapide, est voisine du périhélie au début de janvier mais le déplacement compliqué du périgée de l'orbite lunaire qui présente des périodes rétrogrades réduit ou amplifie cette durée sur le rythme de 8.84 années.

Les hommes ne s'étonnent plus de la présence de cette boule de 74 milliards de milliards de tonnes qui tourne autour d'eux, suspendue par des forces invisibles qui l'empêchent à la fois de tomber sur eux et de s'échapper. Elle leur suggère, à l'échelle de 3/11 (rapport des rayons: 1738 km / 6378 km), la représentation de leur Terre isolée dans l'espace et captive du Soleil, lui-même, à son tour, n'étant qu'un élément commandé par l'ensemble de ses milliards de congénères de la Galaxie...
Par un hasard extraordinaire les disques du Soleil et de la Lune et du Soleil sont presque égaux: le Soleil, 400 fois plus gros que la Lune, se trouve 400 fois plus loin. Le disque de la Lune au périgée, 33.5', dépasse toujours celui du Soleil (entre 31.5' et 32.5') et celui de la Lune à l'apogée, 29.3', lui reste toujours inférieur, d'où la variété des éclipses de soleil entre éclipses totales et éclipses annulaires. Le 3 octobre 2005 à 11h CEST le diamètre apparent du soleil, 32.0', dépasse celui de la Lune, 30.2'.

3 octobre 2005 11h. Espagne longitude 2°W, latitude 39.5°N

A la vérité l'apparente sérénité de la blonde Séléné cache la bataille que se livrent les forces gravitationnelles rivales du Soleil et de la Terre. 
Le phénomène des marées témoigne de cette concurrence. La capacité de chacun des deux rivaux à attirer vers lui les sols et les mers terrestres se mesure par la quantité K égale à la dérivée de la formule de la gravitation universelle soit K = m * m' * 2 / d^3. La masse du Soleil est égale à 330 600 masses terrestres et sa distance à la Terre est l'unité astronomique. La masse de la Lune vaut 0.0123 masse terrestre et sa distance à la Terre vaut 2.57 * 10^-3 UA. Il en résulte que le rapport de la force du Soleil à celle de la Lune est: (330 600 / 0.0123) * (2.57 * 10^-3)^3, soit 0.453. Ainsi l'influence de la Lune dans le phénomène des marées est 2.2 fois plus grande que celle du Soleil. Lors des quartiers de lune ces influences se contrecarrent et elles s'additionnent au moment des pleines lunes et nouvelles lunes. Le rythme de l'influence du Soleil est de 24h, celui de l'influence de la Lune, comme on l'a vu plus haut, est de 24h50m. Par ailleurs l'influence du Soleil est optimale s'il se trouve dans le plan de l'équateur terrestre, car la rotation de la Terre sur elle-même en amplifie alors l'effet. C'est le cas des marées d'équinoxe. Il en est de même pour la Lune quand elle passe dans le plan de l'équateur. Les marées océaniques, qui atteignent un mètre en très haute mer, concernent les riverains des côtes mais la croûte solide terrestre subit aussi un soulèvement évidemment moins perceptible.

Ces efforts considérables se font au détriment du moment cinétique de la Terre dont la rotation quotidienne ralentit en conséquence, celui de la Lune augmentant par un éloignement corrélatif.
L'astronome anglais Harold Spencer Jones (1890/1960) a établi, à partir des observations et des travaux de ses prédécesseurs, que les longitudes du soleil observées et celles découlant des théories présentent un écart, en secondes d'arc, donné par la formule 1+2.97 * t +1.23 * t^2, où  t est le temps en siècles depuis le 1er janvier 1900 à 12h. L'écart de longitude ci-dessus s'écrit en secondes de temps: 24.349 + 72.318 * t + 29.950 * t^2. En prenant la dérivée de cette expression on obtient la valeur de l'augmentation du moyen mouvement, en un siècle, du soleil, soit: 72.318+59.90 * t. L’augmentation relative s'établit donc à 59.90 /  36525 soit 0.00164 s.
Le jour augmente donc de 0.00164 s par siècle.
Cet allongement du jour parait insensible mais il est cumulatif et se calcule par application de la formule 1+2+3+...+n = n(n+1)/2.  En 1000 ans il atteint une heure.
Pour l'Antiquité, en 20 siècles, le décalage atteint 2h55m. Il est confirmé par certaines relations des Anciens concernant les éclipses de soleil qui ne s'expliquent que par une translation de longitude d'environ 45° (3 * 15°) de la zone de visibilité.

L'augmentation de la distance de la Lune correspondant à 0.00164 s se calcule par les lois de la mécanique et la valeur théorique obtenue est de 3.4 cm par an (cf  CLEA Christian Buty, Sophia Antipolis). Les mesures précises actuelles faites par rayon laser sur des cibles posées par les astronautes confirment ce résultat.

De la même façon que la période de rotation de la Lune s'est progressivement calée sur sa révolution autour de la Terre, dans des milliards d'années, révolution de la Lune et rotation de la Terre deviendront égales. La Lune sera alors fixe dans le ciel des terriens, s'il en existe encore...

La trajectoire de la Lune autour du Soleil résulte du rapport entre les forces exercées sur elle par le Soleil et la Terre. Le rapport des masses du Soleil et de la Terre s'établit à 330 600 et celui de leurs distances à la Lune, environ 1 / 2.57 * 10^-3. Le rapport des forces vaut donc 330 600 * 2.57^2 * 10^-6 soit 2.18 en faveur du Soleil.
Dans son déplacement autour de la Terre la Lune est soumise à  une force centripète qui s'écrit 4 * pi^2 * r * l / p^2 où r est le rayon de l'orbite, l la masse de la Lune et p sa période. Compte tenu de la très faible importance de l'orbite lunaire au regard de l'orbite terrestre, on peut considérer que le Soleil exerce sur la lune une accélération centripète analogue, à la masse près, à celle qu'il exerce sur la Terre, soit 4 * pi^2 * R * l / P^2 où R est l'unité astronomique et P la période de la Terre.
D'après la troisième loi de Kepler, le carré de la période est proportionnel au cube du rayon et inversement proportionnel au total des masses des deux corps. On a: P^2 = 4 * pi^2 * R^3 / G *( S + l ) où G est la constante universelle de gravitation. Or on peut négliger la masse de la lune l devant celle de la Terre T (l = T / 81.3) et, bien plus encore, devant celle du Soleil S. L' accélération centripète exercée par la Terre est donc  G * T  / r^2 et celle exercée par le Soleil G * S  / R^2.
Lors de la nouvelle lune, quand les accélérations se contrecarrent, la résultante minimale est égale à  la différence G * S / R^2 -  G * T / r^2. Avec  S = 330 600, T = 1, R = 1 et r = 2.57 * 10^-3 on obtient un résultat positif: G * (330 600 - 151 400) = G * 179 200 masse terrestre / s^2. Ainsi l'accélération due au soleil est toujours supérieure à celle due à la Terre et l'orbite de la Lune est  constamment concave vers le Soleil.
Ce résultat est général pour toutes les planètes tournant autour d'une étoile. Il existe pour chacune une valeur minimale du rayon de l'orbite d'un satellite pour lequel la trajectoire sera concave. Cette valeur est donnée par la formule: rayon de l'orbite de la planète * rac( masse de la planète / masse de l'étoile ). Pour la terre cette limite est de 260 000 km ( 1 / rac( 1 / 330600) = 1.73 * 10^-3 UA ).
On constate que la Lune est le seul satellite du système solaire qui réponde à ce critère. Voilà qui donne un argument supplémentaire pour considérer la Lune, non pas comme un satellite de la Terre mais bien comme une petite sœur de la Terre, composant avec elle une planète double...
Des calculs ci-dessus on peut déduire la distance du centre de masse du système Terre-Lune au centre de la Terre: D = ( 0.0123 ) / (1 + 0.0123 ) * 383 400 = 4.658 km. Cette valeur place le centre de masse à l'intérieur de la Terre. Un autre calcul est possible en observant l'inégalité lunaire due au fait que la Terre précède le centre de masse lors du premier quartier alors qu'elle le suit lors du dernier. L'observation du Soleil montre que le décalage angulaire depuis le Soleil entre la Terre et le centre de masse atteint 6.4 " ou 3.1 * 10^-5 rd. La distance entre centre de la Terre et centre de masse est donc : 3.1 * 10^-5 UA ou 4640 km.
 On peut encore déduire des calculs une approche de la période sidérale de la lune: p = 2 * pi * rac( ( d + r )^3 / (G * T * ( 1 + 1 / 81.3 ))) = 2 348 000 s = 27.2 jours (en réalité 27.32 jours) et de sa vitesse moyenne sur son orbite 1.02 km/s.

jour par jour, le mois lunaire d'une nouvelle lune à la suivante, sur la figure du bas en pointillé noir la trajectoire du barycentre. la Lune introduit une inégalité dans la marche de la Terre

Maurice Danloux-Duménils calcule que le rayon de courbure de la trajectoire lunaire à la nouvelle lune est de 1.71 UA et à la pleine lune 0.74 UA!
La série télévisée "Tous sur Orbite" (1997) de Nicolas Gessner mentionne qu'en regardant la Lune à son dernier quartier on fixe le point de l'espace où se trouvera la Terre 3h34m environ plus tard (384 000 km / 107 500 km/h).

En utilisant des formules donnant une approximation suffisante des valeurs de la longitude du nœud ascendant de l'orbite lunaire, de l'inclinaison, de la longitude du périgée et de l'excentricité on peut construire l'ellipse instantanée représentant la trajectoire de la Lune:
La ligne des nœuds est connue par la longitude du nœud ascendant. Le plan de l'orbite est défini par la ligne des nœuds et l'inclinaison. Le périgée est déterminé par sa longitude et l'excentricité qui détermine sa distance à la Terre, foyer de l'ellipse. L'ellipse est alors dessinée par une méthode classique de géométrie des coniques, par exemple celle du cercle directeur en construisant le second foyer (appelé ici Lilith comme en astrologie!).
Cette construction a ses limites puisque la force perturbatrice du soleil agit de façon extrêmement complexe sur les positions des nœuds et l'inclinaison, d'une part, et sur l'excentricité et la position du périgée, d'autre part.

les vingt-sept positions de la lune lors de sa révolution sidérale commençant le 1er janvier 2019

Le 1er janvier 2019, le Soleil ne se trouve plus qu'à 18° du nœud descendant, il va donc être à la merci de la Lune. Lors de la nouvelle lune du 6 janvier 2019, à 2h30 CEST, dix jours avant le franchissement du nœud qui intervient le 16 janvier, il y aura une éclipse de Soleil visible dans l'hémisphère nord. Lors de la pleine lune du 21 janvier, à 6h10, 5 jours après le franchissement du nœud, il y aura une éclipse totale de Lune visible notamment en Europe.

éclipse partielle de Soleil le 6 janvier 2019

En jaune la course du Soleil, en rouge les parties de l'écliptique correspondant aux saisons d'éclipses, en noir épais l'ellipse instantanée figurant la trajectoire de la Lune et évoluant entre les cercles limites en bleu. Vers le centre, en bleu également, les limites entre lesquelles évolue le 2ème foyer Lilith. Le cercle en rouge est la trace du pôle de l'orbite lunaire.

le Soleil passe au nœud descendant le 16 janvier 2019

éclipse totale de Lune le 21 janvier 2019

Les NOEUDS de l'orbite

Comme celle  de la Terre, l'orbite de la Lune connait un phénomène de précession: les nœuds sont animés d'une rotation de sens rétrograde de période égale à 6793.4 jours (18.6 ans). Mais, le Soleil étant le principal responsable de ce mouvement, son action cesse lorsqu'il passe dans l'axe des nœuds tous les 173.3 jours. L'inclinaison du plan orbital connait alors son maximum de 5.3° et les nœuds deviennent stationnaires.

en bleu épais la trace des nœuds sur l'écliptique pendant un cycle de 6793 jours du 22/06/2006 au 31/01/2025

Pendant le cycle de 18.6 ans la distance des nœuds à la Terre connaît trois minima et trois maxima répartis à 120° environ.

il existe un cycle de 2264 jours (6.2 ans = 18.6 / 3) qui fait passer les nœuds de la position de périgée à celle d'apogée

Le soleil et la Lune en conjonction, le soleil est passé au nœud ascendant cinq jours avant et la Lune 8h co SAF

Le PÉRIGÉE de l'orbite

Le périgée moyen de l'orbite lunaire est animé, comme pour la Terre, d'une rotation dans le sens direct.
La période de sa longitude est de 3232.6 jours (8.85 ans). Mais après une telle période le périgée présente une latitude de signe contraire. Il serait plus pertinent de parler d'une période de durée double soit 6465.2 jours car, alors les valeurs des latitudes sont proches.

en rouge la trace du périgée moyen pendant un cycle de 3232.6 jours, en noir sa projection sur le plan de l'écliptique, au centre, en rouge, la trace du foyer Lilith

Les périgées moyens du 12/08/2015 et du 17/06/2024 (3232 jours plus tard) présentent des latitudes de valeurs proches car voisines de zéro. Par contre les latitudes des périgées moyens du 14/08/2016 et du 20/06/2025 (3232 jours plus tard aussi) sont de signes opposés. Mais la latitude du périgée du 9/05/2034 est très proche de celle du périgée du 14/08/2016, 6464 jours avant.

mêmes traces que pour la figure précédente mais pour une période de 17.7 ans (6464 jours) du 26/10/2006 au 17/06/2024

On constate une sorte de symétrie par rapport au plan de l'écliptique entre chacune des deux périodes de 3232 jours et une répartition à 120° environ des périgées dont la latitude est nulle.

vue depuis le pôle de l'écliptique

vue depuis le point vernal

vue depuis les solstices

En superposant trace du périgée moyen et trace des nœuds on met en évidence une concomitance des dates pour lesquelles la latitude du périgée est nulle et pour lesquelles les nœuds sont en position de périgée. Ceci apparait comme fortuit pour la période 2006 / 2024...

traces du périgée moyen et du nœud ascendant

vue depuis le pôle nord

Cependant, le périgée moyen est loin de rendre compte du mouvement réel du périgée. Celui-ci, en effet, connait des séquences durant desquelles le mouvement se fait dans le sens rétrograde.
Le Soleil traverse le plan perpendiculaire à l'écliptique contenant l'axe des apsides tous les 206 jours environ, il accélère alors le mouvement direct du périgée qui devient maximal à 0.33° par jour, par contre quand il est en quadrature avec ce plan le mouvement du périgée se fait en sens rétrograde à 0.22° par jour. Le périgée est stationnaire quand l'angle Soleil / plan des apsides vaut 51° et 129°.
On sait que l'augmentation de l'excentricité qui se produit quand le Soleil passe dans le plan des apsides a pour effet de rapprocher la Terre du périgée puisque celle-ci est l'un des foyers de l'orbite et non pas le centre. Leur distance vaut 383 400 * (1 - EX) km où EX est l'excentricité. Le minimum de 356 400 km est atteint pour l'excentricité maximale de 0.07.

en rouge la trace du périgée vrai, en vert celle de l'apogée vrai, vers le centre, en rouge, la trace de Lilith

 

traces des nœuds, des apsides, de Lilith

 La distance de la Terre au périgée varie entre 356 400 km et 370 400 km, intervalle bien plus grand (+/- 2%) que celui de la variation de la distance à l'apogée 404 100 km et 406 700 km (+/- 0.3 %). L'apogée de l'ellipse calculée présente un écart avec l’apogée réel en raison, notamment, de l'inégalité appelée l'évection due au déplacement du périgée.

éclipse de Soleil du 6 janvier 2019

éclipse de Lune du 21 janvier 2019

positions des apsides et des nœuds au cours de l'année 2019

Le soleil passe au nœud descendant le 17 janvier, au nœud ascendant le 10 juillet et de nouveau au nœud descendant le 30 décembre. Ces trois dates déterminent les éclipses de l'année. En vert, sur le cercle figurant l'écliptique, les limites des saisons d'éclipses glissant avec les nœuds.

Le 10 février le Soleil passe dans le plan des apsides et étire donc l'orbite lunaire. Il se trouve que la pleine lune a lieu neuf jours plus tard, le 19 février, précisément le jour où elle passe au périgée. La Lune présente alors son diamètre maximum: 33.5 '. Le 20 avril l'angle soleil / plan des apsides vaut 129° et le périgée est stationnaire puis devient rétrograde. Le 27 juin l'angle vaut 51° et le périgée reprend son mouvement direct. Le 7 septembre, 209 jours après le 10 février au lieu de 206, le Soleil passe à nouveau dans le plan des apsides. La pleine lune suivante a lieu le 14 septembre, le lendemain de son passage à l'apogée. Il en résulte qu'il s'agit d'une "petite" pleine lune de diamètre 29.4°. Le 15 novembre l'angle vaut à nouveau 129° et le périgée redevient rétrograde.

l'orbite de la lune de 15 jours en 15 jours en 2019 (l'excentricité a été multipliée par 10 et le demi-grand axe par 70)

 En rouge l'axe des apsides. L'excentricité maximale est atteinte vers la mi-février et la mi-septembre, celle minimale vers la fin mai et la fin décembre.

Ô Fortuna, velut Luna statu variabilis, semper crescis aut decrescis, vita detestabilis...

Carmina Burana 1937

Carl Orff (1895/1982)

l'époque héroïque de l'exploration du système solaire

 Mes Vaisseaux Te Mèneront Jusque Sur Une Nouvelle Planète...

Ce pourrait être une promesse d'Elon Musk, paraphrasant JFK en 1961!

M V T M J S U N P

Pour l'instant seules des sondes automatiques font ces voyages.

A partir des années 1960, l'URSS et les États-Unis se sont tournés vers l'exploration des planètes et, presque exactement, dans l'ordre de leur distance à la Terre en procédant, au fur et à mesure du développement de la puissance des lanceurs, d'abord à un survol puis à une mise en orbite et enfin à un "atterrissage" .

distances (en UA) des planètes à la Terre sur un cycle de trois ans

 

distances (en UA) des planètes à la Terre sur un cycle de trente ans (période de saturne: 29,5 ans)

C'est donc Vénus qui a la priorité, puis Mars.

les arabesques décrites par les planètes telluriques en 2018 dans le système de Ptolémée

un petit air de guingois pour les planètes telluriques

une épaisseur non négligeable

La rotation des corps du système solaire autour d'un axe qui leur est quasiment commun, garantit la cohésion de l'ensemble et pour quitter l'écliptique il faut donc vaincre les forces d'inertie ce qui suppose une importante quantité d'énergie.

des excentricités qui épargnent un peu la Terre et surtout Vénus

le système solaire dans un repère logarithmique, seule représentation permettant d’intégrer toutes les planètes

Il y a 400 ans, le 15 mai 1618, Johannes Kepler (1571/1630), après plus de vingt ans de recherches et de calculs, découvre sa troisième loi et la mentionne dans son ouvrage "Harmonice Mundi":

"Les temps périodiques de deux planètes quelconques sont entre eux en proportion exactement sesquialtère de leurs distances moyennes".

Par une sorte d'ellipse (!), Kepler désigne les puissances (carrée et cube) à affecter aux temps périodiques et aux distances moyennes. 

Il semblerait que ce résultat ait été obtenu par tâtonnements. Dès le "Mysterium Cosmographicum" paru en 1596 Kepler explique "qu'il y avait trois choses surtout dont, sans me lasser, je recherchais les causes, à savoir: le nombre, les dimensions et les mouvements des orbes". Mais, obnubilé par la recherche d'une harmonie - qui n'existe pas - dans le rythme des orbes, il a fait le détour infiniment plus compliqué de l'établissement des deux premières lois de la mécanique céleste exposées dans son "Astronomia Nova" paru en 1609. Isaac Newton (1643/1727) montrera dans son ouvrage "Principia Mathematica" paru en 1687 que ces trois lois n'en font qu'une.
(voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "La découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler" en date du 01/05/2014 et celui intitulé "L'aube de la science dynamique: Kepler, Galilée, Huygens, Newton et...Voltaire" en date du 23/02/2016)

En prenant comme unités la révolution sidérale de la terre et sa distance au soleil (unité astronomique UA) cette loi s'écrit, pour une planète quelconque:
T^2 = a^3 où T est sa période et a son demi grand-axe.
On peut l'écrire autrement: la vitesse moyenne d'une planète sur son orbite est inversement proportionnelle à la racine carrée de son demi grand-axe. Avec les mêmes unités on a: V = 2*pi / rac( a ), ce qui peut s'écrire en km/s: V = 4.74034 * (2*pi / rac( a )) km/s, a étant encore exprimé en UA (en effet: 149 597 870 / (365.26 * 86 400) =  4.74034). Pour la Terre V = 4.74034*2*pi = 29.8 km/s.

une allure résolument hyperbolique

Les difficultés du voyage interplanétaire tiennent donc à deux facteurs principaux: la distance et l'écart de vitesse.

Après les succès des spoutniks soviétiques de 1957, l'année 1958 marque le début de la course à la Lune entre URSS et USA avec de multiples échecs pour les deux pays.

Le 2 janvier 1959 pour les Russes et le 3 mars pour les Américains, l'attraction terrestre est vaincue mais les sondes ratent la lune et deviennent les premières micro-planètes artificielles. Les deux concurrents progressent en visitant la face cachée de la lune puis en posant en douceur un engin puis en mettant une sonde en orbite lunaire.

Finalement la partie est gagnée par les USA le 20 juillet 1969 quand Apollo 11 se pose dans la mer de la Tranquillité alors que la sonde Luna 15 s'écrase quelques heures plus tard dans la mer des Crises (voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "JFK: nous serons les premiers à marcher sur la lune!" en date du 19 juin 2018).

Parallèlement à la conquête de la Lune l'envoi de sondes vers Vénus avait commencé.

Un rendez-vous entre une sonde terrestre et une autre planète est idéalement réalisé à l'occasion de l'opposition (ou de la conjonction pour une planète intérieure) de celle-ci avec la Terre, la sonde partant avant l'opposition et arrivant après. La trajectoire la moins gourmande en énergie est l'orbite d'Hohmann (1880/1945) dont le périhélie et l'aphélie coïncident respectivement avec les demi grands-axes de la la Terre et de la planète (ou l'inverse pour une planète intérieure).

Pour des planètes qui décriraient des cercles centrés sur le Soleil et de rayons, en km, R pour la Terre et r pour la planète (planète extérieure: r > R), et en négligeant les attractions gravitationnelles des deux planètes ainsi que leurs dimensions propres, on calcule les éléments suivants de l'orbite d'Hohmann pour une sonde injectée à 200 km d'altitude:

demi grand axe a = (R + r) / 2, excentricité (R - r) / (R + r), période 2*pi*rac(a^3 / 1.327*10^11), vitesse au périhélie Vp = rac((1.327*10^11)*(2 / R - 1 / a)) km/s, à l'aphélie Va = rac((1.327*10^11)*(2 / r - 1 / a)) km/s. Le coefficient 1.327*10^11 est la constante de gravitation héliocentrique en km^3 / sec^2.

La Terre se déplace à la vitesse moyenne de 29.8 km/s sur son orbite et la vitesse de libération terrestre à 200 km d'altitude est égale à 11.009 km/s (voir à ce sujet l'article du présent blog intitulé "la mécanique céleste des satellites" en date du 29/05/2018).

S'agissant du principe de conservation de l'énergie, la vitesse d'injection, au périhélie, s'obtient en composant les carrés des vitesses: vitesse d’injection = rac(11.009^2 + (Vp-29.8)^2).

En approchant de la planète, la sonde peut se poser en douceur si on lui communique une vitesse de freinage qui s'obtient encore en composant les carrés des vitesses. Si Vpla est la vitesse de la planète sur son orbite et si sa vitesse de libération est Vlibp, la vitesse de freinage est: rac(Vlibp^2 + (Vpla - Va)^2). Mais cette manœuvre implique que l'on ait transporté les ressources nécessaires à la production de l'énergie correspondante...

La durée du voyage D est égale à la demi période de l'orbite d'Hohmann soit, en secondes: pi*rac(a^3 / 1.327*10^11).

Si Tt et Tp sont les périodes de la Terre et de la planète en secondes, la planète cible aura parcouru à l'arrivée de la sonde, un arc Ap = 2*pi*(D / Tp) et, au moment du lancement, l'angle entre la Terre et la planète cible est égal à Atp = pi-Ap. L'opposition (conjonction pour une planète intérieure) se produit quand la planète a parcouru un arc Apc = Atp*(Tt / (Tp - Tt)). La date de départ précède donc l'opposition d'une durée égale à Atp*(Tp/(Tp-Tt)) / 86400 jours.

Quelle belle mécanique!

Ces résultats sont largement inspirés de l'ouvrage de Christian Gentilini "Guide de localisations des astres" paru en 2008 chez EDP Sciences.

Les calculs sont en fait largement plus complexes parce que les trajectoires des planètes sont des ellipses décrites selon la loi des aires dans des plans diversifiés et parce que les gravitations propres des planètes doivent être prises en compte.

orbites de Hohmann pour Mars et Vénus

14 décembre 1962: Mariner II survole Vénus

Vénus est la planète dont la Terre s'approche le plus: 0.28 UA. Sa révolution synodique est de 584 jours soir un peu plus d'un an et sept mois. Sa vitesse moyenne sur son orbite est de 35.0 km/s.

En 1958 les USA disposent du missile balistique intercontinental "Atlas" dérivé du V2 allemand et utilisant un moteur kérosène-oxygène liquide. Parallèlement, "Agena", un deuxième étage à moteur ré-allumable fonctionnant avec des ergols hypergoliques, était développé et devient opérationnel en 1959. La combinaison Atlas-Agena ouvre la voie de l'exploration du système solaire.

La NASA s'est trouvée prête à lancer deux sondes jumelles en vue de la conjonction du 15 novembre 1962. Compte tenu de la puissance du lanceur, la fenêtre de tir s'étendait du 22 juillet au 10 septembre avec un optimum le 22 août. Mariner I lancé dès le 22 juillet fut un échec, en raison d'une erreur de codage d'un seul caractère dans un programme informatique... mais Mariner II lancé le 27 août connut un succès quasiment complet.

S'agissant d'une planète à atteindre plus proche du soleil que la Terre il fallut ralentir la sonde (par rapport à la terre) après l'avoir fait échapper à l'attraction terrestre.

Le plan de vol donne au premier étage la mission d'envoyer sur une orbite basse le deuxième étage et la sonde. Puis le deuxième étage optimise cette orbite d'attente et enfin son ré-allumage injecte la sonde. En route, celle-ci, confiée aux lois de la mécanique céleste, ne peut modifier que très légèrement sa trajectoire par des moteurs annexes de faible puissance.

Ce processus sera généralisé pour tous les lancements spatiaux.

l'étonnant parcours de la sonde Mariner II à destination de Vénus pendant les 14 premières heures

Mariner II, sonde vénusienne(en noir) puis micro-planète (en gris foncé)

Le trajet de Mariner II a duré 109 jours au lieu de 146 jours théoriques pour l'orbite de Hohmann., raccourcissement rendu possible par la puissance du lanceur.

La sonde a survolé Vénus le 14 décembre à 34.800 km avec une vitesse de 6.74 km/s, elle a transmis de multiples informations sur la nuageuse étoile du berger et a permis de valider les procédures concernant les trajectoires des sondes interplanétaires et les transmissions dans l'espace. Puis, légèrement déviée par la gravité vénusienne, Mariner II est devenu une micro-planète artificielle silencieuse, sort qu'elle partage avec les sondes lunaires qui ont raté leur cible. Sa période est un peu plus faible que celle de la Terre: 356 jours et son aphélie dépasse l'orbite de la Terre.

Une quarantaine de sondes américaines et soviétiques se sont succédé jusqu'à la sonde Magellan, très sophistiquée, lancée depuis la navette Atlantis le 4 mai 1989 et opérationnelle autour de la planète durant quatre ans. Elle a été suivie en 2006 par la sonde européenne Vénus Express lancée depuis Baïkonour.

14 juillet 1965: Mariner IV survole Mars

La révolution synodique moyenne de Mars est de 780 jours, soit un peu plus de deux ans, mais elle varie entre 764 jours et 809 en raison de l'assez forte excentricité. Lors d'une opposition favorable, le 28/08/2003 par exemple, Mars se trouve à 0. 37 UA de la Terre. Sa vitesse moyenne sur son orbite est de 24.13 km/s mais au périhélie sa vitesse atteint 26.5 km/s pour 22km/s à l'aphélie.

Après Vénus le programme Mariner se tourne vers Mars à l'occasion de l'opposition, pas très favorable cependant,  du 17 mars 1965.

Deux sondes jumelles sont prêtes pour la fenêtre qui s'ouvre le 4 novembre 1964 pour un mois. Mariner III lancé le 4 novembre connait un échec car la coiffe conique de la fusée ne se détache pas.

Mariner IV est lancé le 28 novembre 1964 et la mission sera parfaitement remplie, la sonde en effet survole Mars le 14 juillet 1965 à 9.800 km d'altitude à la vitesse de 5.12 km/s.

Mariner IV sonde martienne (en noir) puis micro-planète (en gris foncé)

Le trajet a duré 228 jours, sensiblement moins que la moyenne calculée de 260 jours. Mariner IV tourne maintenant autour du Soleil en 570 jours.

Mars devient alors l'objectif principal des puissances spatiales avec en point de mire la construction d'une base de vie humaine sur la planète la moins inhospitalière du système solaire.

L'année 2018 est particulièrement favorable à un voyage vers Mars. En effet la fenêtre de tir s'ouvre le 5 mai, soit 81 jours environ avant l'opposition du 27 juillet 2018 qui se produit non loin du périhélie de Mars. Il en résulte que pendant le voyage de la sonde, la vitesse de Mars est plus élevée qu'en moyenne, que sa distance est moindre et que la durée du voyage s'en trouve notablement raccourcie: 205 jours au lieu de 260 en moyenne.

les oppositions de 2016 et 2018 très favorables à un voyage vers Mars

trajectoire de la sonde InSight qui se posera sur Mars le 26 novembre 2018

La sonde InSight, équipée d'instruments français et allemands a été lancée par la NASA le 5 mai 2018 et arrivera le 26 novembre.

3 décembre 1973: Pioneer 10 survole Jupiter
1er septembre 1979: Pioneer 11 survole Saturne

En 1965 les autres planètes, Mercure ou Jupiter ou Saturne, sont hors de portée du lanceur Atlas-Agena.

Mais dès 1967 la mise au point d'un deuxième étage fonctionnant à l'hydrogène liquide, Centaur, permet de doubler la charge utile ou la performance du lanceur et ouvre ainsi de nouvelles perspectives. Il a permis de placer la sonde Mariner IX en orbite autour de Mars qui devient en 1971 le premier satellite artificiel autour d'une autre planète que la terre.

Cependant dès le début des années 1960 les ingénieurs ont commencé à imaginer des missions interplanétaires utilisant un principe analogue au ricochet pour survoler une planète puis atteindre une deuxième planète puis une troisième...en empruntant à chacune lors du survol un peu de son énergie pour modifier sa vitesse en quantité et direction jusqu'à la suivante. C'est l'assistance gravitationnelle qui permet de se déplacer le long des planètes sans disposer d'aucun moteur... Il y faut, bien sûr, de bonnes dispositions de celles-ci, ce qui ne peut être qu'exceptionnel!

C'est ce qui a été identifié par l'américain Gary Flandro (1934-) pour une sonde quittant la Terre à la fin des années 1970 et atteignant Neptune à la fin des années 1980.
C'est ainsi qu'en raison de l'urgence, Jupiter brûle la politesse à Mercure dans les projets de la NASA.

Pour les planètes extérieures Mars n'est pas une étape utile car à la fois trop proche et pas assez massive: sa masse n'est que 11 % celle de la Terre. Par contre Jupiter est le tremplin idéal avec une masse 318 fois supérieure à celle de la Terre.

En ajoutant à l'ensemble Atlas-Centaur un troisième étage dérivé de celui utilisé pour faire alunir les sondes Surveyor du programme lunaire, la route directe vers Jupiter s'ouvre! L'assistance gravitationnelle fera le reste.

La période synodique de Jupiter est de 399 jours soit un an et un mois. Jupiter s'approche de la Terre au mieux à 4.2 UA et sa vitesse sur son orbite ne dépasse pas 13.7 km/s.

Une fenêtre de tir vers Jupiter s'ouvre le 25 février 1972 et se referme le 20 mars. La NASA reprenant la dénomination ancienne d'une série de sondes lunaires caractérisée par ses multiples échecs, lance à titre exploratoire la sonde Pioneer 10 le 3 mars 1972. C'est un grand succès: un an et neuf mois plus tard la sonde survole la géante gazeuse le 3 décembre 1973 à 130.000 km d'altitude.

Accélérée par l'assistance gravitationnelle, Pioneer 10 échappe au Soleil et se dirige vers Aldébaran...Un dernier contact a eu lieu en janvier 2003 à la distance de 80 UA.

Pioneer 10 première sonde envoyée au delà du système solaire

 

l'atome d'’hydrogène et sa raie 21.11 cm, un homme, une femme,
le soleil repéré dans la galaxie, le système solaire

La plaque mesurant 23x15 cm emportée dans l'espace à destination des extraterrestres par chacune des sondes Pioneer 10 et 11, a été conçue par Carl Sagan (1934-1996) et Frank Drake (1930-) et dessinée par Linda Salzman Sagan (1940-). Frank Drake, convaincu de l'existence d'une vie extraterrestre, est l'auteur du calcul appelé "équation de Drake" chiffrant le nombre probable de civilisations dans la Voie Lactée...(60?).

Les procédures étant validées, la NASA, sans attendre l'arrivée de Pioneer 10 à proximité de Jupiter, profite de la fenêtre suivante (399 jours après le lancement de Pioneer 10) pour lancer Pioneer 11 le 6 avril 1973 avec comme but le survol de Saturne. Pour pallier la position défavorable de l'objectif il faudra une déviation très forte par Jupiter, ce qui sera obtenu en effectuant à faible altitude un tour complet autour de la planète.
Le survol de Saturne a lieu le 1er septembre 1979 et les planètes Uranus et Neptune se trouvant hors de portée, la sonde se dirige vers la constellation de l'Aigle. Mais tout est prêt pour le Grand Tour.

Certains pensent que ces sondes survivront au système solaire...

Pioneer 11 première sonde conçue pour utiliser l'assistance gravitationnelle

29 mars 1974: Mariner X survole Mercure

Après Mariner IX qui a été placé en orbite autour de Mars en 1971, la sonde Mariner X est destinée au survol de Mercure. Le lancement a lieu le 3 novembre 1973, sept mois après le départ de Pioneer 11 et Mercure sera la première planète survolée grâce à l'assistance gravitationnelle d'une planète.

Mercure ne s'approche pas à moins de 0.6 UA de la terre. La révolution synodique dure 116 jours soit 3 mois et 24 jours et la révolution sidérale, 88 jours. Sa vitesse moyenne sur son orbite atteint 47.9 km/s (entre 58.98 km/s et 38.86 km/s en raison de la forte excentricité 0.206, deux fois celle de Mars) et son orbite présente une inclinaison importante: 7° soit le double de celle de Vénus et le quadruple de celle de Mars. L'intensité du rayonnement solaire onze fois plus forte que sur l'orbite terrestre pose un problème supplémentaire: il fait 450°C sur la face éclairée.
La capacité des lanceurs rend impraticable l'orbite de Hohmann directe en raison de l'écart de vitesse trop important à imprimer à la sonde: 7.6 km/s sans tenir compte de la vitesse de libération.

orbite de Hohmann directe

deux orbites de Hohmann successives

Le survol préliminaire de Vénus permet de confier à cette planète la charge de freiner suffisamment la sonde (environ 8.5 km/s de 37.7 km/s à 29.2 km/s suivant nos hypothèses) pour l'injecter sur une trajectoire qui lui fera atteindre l'orbite de Mercure.
Une fenêtre de tir s'ouvre en 1973 et lors d'une conférence préparatoire au Jet Propulsion Laboratory (JPL) qui se tient en 1970, Giuseppe Colombo (1920/1984), ingénieur italien, démontre que si l'on aménage le projet on pourra obtenir non pas un seul survol de Mercure mais plusieurs en donnant à la sonde lors de son premier survol une période égale au double de celle de Mercure soit 176 jours.

le périple de Mariner X: en rouge de la Terre à Vénus, en gris foncé de Vénus à Mercure, en vert l'orbite finale

Le 3 novembre 1973 la sonde Mariner X est lancée par une fusée Atlas-Centaur à destination de Vénus sur une trajectoire bien plus tendue qu'une orbite de Hohmann autorisée par la surpuissance du lanceur. Le 5 février 1974 la sonde arrive à 5.800 km de Vénus à la vitesse de 36.8 km/h. La planète se trouve freinée à 34.1 km/s et relancée sur une orbite qui la fait survoler Mercure le 29 mars 1974 à 703 km d'altitude seulement. La sonde devient alors une planète dont la période est deux fois celle de Mercure.
Mariner X survole donc de nouveau Mercure 176 jours après, le 21 septembre 1974, à 48.000 km, puis à nouveau 176 jours après, le 16 mars 1975, à 330 km et ainsi de suite...Merveille de la mécanique céleste!
Mais les ressources énergétiques de Mariner X s'épuisent fin mars 1975.

Mercure ne reçoit pas de nouvelle visite avant mars 2011 lors de la mise en orbite par la NASA de la sonde Messenger lancée en 2004. La sonde est freinée par le recours à plusieurs reprises à l'assistance gravitationnelle.
En hommage à Giuseppe Colombo, l'ESA a baptisé "Mission BepiColombo" la sonde lancée par Ariane 5 le 20 octobre 2018 pour placer deux orbiteurs européen et japonais autour de Mercure. Sa trajectoire complexe utilise plusieurs fois la propulsion ionique et le principe de l'assistance gravitationnelle. Le périple va durer sept années...

9 novembre 1980: Voyager 1 survole Saturne puis Titan
24 janvier 1986: Voyager 2 survole Uranus puis Neptune le 25 août 1989

Dès 1972 la NASA prépare l'"alignement" favorable de 1977 - 1989 en prévoyant le lancement de deux sondes jumelles vers Neptune: Mariner 11 et Mariner 12. La révolution synodique de Jupiter et Saturne est de 20 ans mais elle est de 180 ans si on y ajoute Uranus et Neptune!
L'assemblage de la fusée Titan, jusqu'ici utilisée pour la mise en orbite de satellites militaires lourds et pour l'atterrissage en 1975 sur Mars, et de l'étage Centaur permet d'envoyer des sondes pesant 825 kg (contre 235 kg pour les Pioneer) à proximité de Jupiter. Ensuite les lois de la mécanique céleste feront le reste.
Pour tenir compte du gap technologique, avant leur lancement, la NASA rebaptise les deux sondes: "Voyager 1" et "Voyager 2".

1977 - 1989 l'alignement exceptionnel des planètes gazeuses et le Grand Tour de Voyager 2

Profitant de la quatrième fenêtre après le lancement de Pioneer 11, la première sonde, Voyager 2, ouvre le bal le 20 août 1977, suivie de Voyager 1 le 5 septembre.
Jupiter accélère les deux sondes sur des trajectoires hyperboliques, le 9 mars 1979 pour Voyager 1 qui a dépassé sa jumelle de quatre mois grâce à une trajectoire plus énergétique, et le 9 juillet pour Voyager 2.
Voyager 1 survole Saturne le 9 novembre 1980, dix mois avant Voyager 2, et pour explorer Titan quitte l'écliptique. Puis elle franchit la limite de l'héliosphère et se dirige dans la même direction que le système solaire dans son ensemble, vers la constellation de la Girafe qui sera atteinte dans 40.000 ans...

Voyager 2 survole Saturne le 25 août 1981, continue son périple avec succès en survolant Uranus le 24 janvier 1986 et Neptune le 25 août 1989 puis quitte l'écliptique vers Sirius.

La fabuleuse partie de billard à quatre bandes est couronnée de succès.

Comme pour Pioneer les sondes Voyager emportent à destination d'éventuelles intelligences extraterrestres des informations sur la terre et ses civilisations. Carl Sagan et son équipe ont choisi les photos et les musiques gravées sur un disque.

contact dans combien de millénaires?

14 juillet 2015: New Horizons survole Pluton

L'alignement du Grand Tour ne se reproduira pas avant 2150. Pour atteindre Pluton on peut donc avoir recours, au mieux, à l'assistance gravitationnelle de Jupiter. Et il y a urgence car Pluton est passé au périhélie début octobre 1989 et depuis s'éloigne du soleil et de la terre. 
Une fenêtre s'ouvre du 17 janvier au 28 janvier 2006. Passée cette date du 28, l'arrivée se décale d'un an pour un départ les 29, 30 et 31 janvier, de deux ans pour les 1er et 2 février. Ensuite la position de Jupiter ne permet plus une assistance gravitationnelle suffisamment efficace.
En 2005 la NASA dispose du lanceur Atlas V dont le moteur du premier étage est construit par une firme russe! Ce lanceur lourd qui remplace les Atlas précédents, les Titan et les Delta, permet de loger un troisième étage dans la partie réservée à la charge utile, lui donnant ainsi la capacité d'atteindre Pluton.

new horizons et Pluton

New Horizons est lancé le 19 janvier 2006.
Le 28 février 2007 la sonde passe au large de Jupiter ce qui l'accélère de 4 km/s et place sa trajectoire dans un plan incliné de 2 ° par rapport à l'écliptique (l'inclinaison de orbite de Pluton présente un angle de 17 °).

Huit ans après, le 14 juillet 2015, la sonde passe à 11.000 km d'altitude de Pluton.

Depuis le premier survol de Vénus par Mariner II le 14 décembre 1962 il s'est écoulé 53 années particulièrement fécondes car les ingénieurs ont su profiter des positions réciproques exceptionnelles des planètes géantes.
Pendant cette période les États-Unis, constamment aiguillonnés par les ingénieurs soviétiques puis russes, ont, le plus souvent, dominé les péripéties de la technique interplanétaire.

les rayons des astres sont respectés mais les distances ne le sont pas

Avec les progrès dans la connaissance des lois de la mécanique céleste, le développement des calculateurs et l'augmentation de la puissance des lanceurs, les sondes deviennent des fusées à part entière et les ingénieurs se sont affranchis des contraintes qui marquaient l'époque héroïque.

L'orbite de Hohmann est oubliée ainsi que le principe des fenêtres de tir, les dates de lancement dépendant de plus en plus souvent des agendas des pas de tir, terrestres ou en orbite.

L'assistance gravitationnelle se trouve démultipliée en utilisant successivement et à plusieurs reprises aussi bien la Terre que Vénus, planète intérieure, ou Jupiter, planète extérieure.

La maturité des techniques spatiales a permis de placer de multiples sondes en orbite autour des planètes jusqu'à Saturne et de faire "atterrir" des engins motorisés, les unes et les autres bénéficiant d'instruments scientifiques de plus en plus sophistiqués et d'une durée de vie qui se mesure en dizaines d'années.

Sans parler de Mars qui ressemble de plus en plus à une future colonie, les exploits des sondes Magellan autour de Vénus en 1990, Galileo autour de Jupiter en 1995, Cassini autour de Saturne en 2004 et Messenger autour de Mercure en 2011 affirment l'expertise des hommes jusqu'aux New Frontiers.

Des risques et des efforts financiers énormes ont été consentis et encourus par la puissance publique. Place maintenant aux collaborations internationales et aux capitaines d'industrie qui s'avancent dans des disciplines extraordinairement complexes mais presque totalement maîtrisées.

Résultat bénéfique de la guerre froide puis de l'émulation réciproque?

 

6 février 2018: art de la provocation et changement de paradigme!