Les lois de la mécanique céleste sont ainsi célébrées pour créer le premier satellite artificiel. Le demi grand axe de son orbite elliptique est d'environ 6950 km et sa période est donc de 96 minutes en application de la troisième loi de Kepler.
Le 16 juillet 1969, le lanceur Saturn V qui pèse plus de 3000 tonnes place sur une orbite circulaire d'attente dont la période est analogue, le "train lunaire" en partance, deux heures plus tard, pour la mission Apollo 11 chargée d'emmener un homme sur la lune à 383400 km de la terre.
Douze ans auparavant l'espace était vierge et sa pollution commençait.
Il a reçu depuis cette date la visite de plus de 5000 lanceurs qui y ont déposé leurs satellites et leurs cortèges d'étages de fusée et de débris de toute taille. Le rythme a été d'environ 200 lancements en 2017 sans compter les quelques 300 "CubSats" nano-satellites scientifiques de moins de 10 kg qui ne vivent qu'un à deux ans.Cet engouement s'explique par les multiples intérêts du satellite. En orbite très basse il permet la téléphonie sur tout le globe, en orbite basse il est utile aux scientifiques: astronomes, physiciens, physiologues, agronomes, géographes, météorologues..., en orbite moyenne il sert à la géolocalisation, en orbite géosynchrone à la diffusion de programmes d'information, de culture et de divertissement et, à toutes les orbites, les militaires en sont friands.
Les conditions hostiles de l'espace limitent fortement la durée de vie en orbite d'un satellite, 15 ans en orbite géosynchrone, et le problème se pose de la gestion des satellites hors d'usage.
Pour dégager l'orbite géostationnaire il faut repousser ses occupants devenus inutiles sur une orbite de garage de plus grand rayon où ils accéderont à une sorte d'éternité limitée par les forces perturbatrices des autres corps du système solaire... Pour les orbites moyennes il faut les ralentir pour qu'ils descendent vers l'atmosphère terrestre et brûlent. Cela coûte du carburant et n'est généralement pas fait! Seules les orbites basses se nettoient d'elles mêmes par suite du frottement de l'atmosphère.
Les lancements se font généralement vers l'est pour profiter de la rotation de la terre sur elle-même. A l'équateur la vitesse de rotation est de 1674 km/h soit 0.465 km/s, ce qui représente 6% de la vitesse à atteindre pour se positionner sur une orbite basse à 200 km. A Kourou (5.23° de latitude) le gain est 0.463 km/s, à Cap Canaveral (28.45°): 0.409 km/s et à Baïkonour (46.25°): 0.322 km/s seulement. Il faut encore que les premiers étages ne retombent pas dans des zones habitées. Selon leurs latitudes les nations spatiales utiliseront des orbites diverses, plus ou moins complexes.
C'est Isaac Newton (1643/1727) qui a fondé la mécanique céleste en découvrant la loi de l'attraction universelle qui, à elle seule, est à la base des trois lois expérimentales découvertes en 1609 et 1618 par Johannes Kepler (1571/1630) (voir à ce sujet l'article en date du 01/05/2014 intitulé "la découverte de l'organisation du système solaire: le génie de Kepler").
Newton définit la masse, l'inertie puis la force et l'action / réaction et élabore ses "Principes", théorèmes publiés en 1687 et exposés en français par Voltaire (1694/1778) en 1738 seulement (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 23/02/2016 intitulé "l'aube de la science dynamique: Kepler, Galilée, Huygens, Newton et...Voltaire").
Newton démontre que dans un champ de gravité central, un corps attiré se déplace à une vitesse aréolaire constante (dans des temps égaux les surfaces couvertes par le rayon sont égales). C'est la "loi des aires".
Puis il montre que si la force exercée par un centre de masse m1 sur un corps de masse m2 est inversement proportionnelle au carré de leur distance, la trajectoire est une conique décrite en une période de révolution qui se calcule par la formule : T^2 = 4 * pi^2 * a^3 / ( G * ( m1 + m2 )) où le demi grand axe est noté "a". G est la constante de gravitation universelle, grandeur de dimension m^3.s^-2/kg égale à 6.6726.10^-11.
Christian Gentili dans son livre "Guide de localisation des astres" (2008) démontre que si la force centrale est inversement proportionnelle non pas au carré mais au cube de la distance, alors les trajectoires sont des spirales et il fait remarquer que les galaxies sont dotées de bras spiraux...
La loi fondamentale de la mécanique céleste est donc celle de l'attraction universelle: F = G * ( m1 * m2 / d^2 ) dont le "mode d'action perce tous les écrans et franchit toutes les distances" (Danloux-Duménils 1985).
Le plus souvent l'un des deux corps a une masse M considérable par rapport à celle de l'autre (c'est particulièrement le cas des satellites artificiels). Dans le référentiel basé sur ce corps on écrit donc F = G*M / d^2. Le produit G*M est la constante de la gravitation relative au corps central, dans la pratique soit géocentrique Gt (3.98600.10^14 m^3.s^-2) soit héliocentrique Gs (1.32712.10^20 m^3.s^-2). Pour tous les satellites du référentiel le carré de la période est proportionnel au cube du grand axe: Gi = 4 * pi^2 * a^3 / T^2.
C'est en négligeant leurs masses propres par rapport à celle de la terre que l'on peut énoncer la loi de la chute des corps: "tous les corps tombent à la même vitesse dans le vide".
Il en est ainsi dans l'ISS où la pesanteur terrestre est contrebalancée par la force centrifuge et où "chaque astronaute, chaque objet libre, chaque grain de sable (!) gravite pour son propre compte, sur la même orbite, et à la même vitesse que l'ensemble" (Danloux-Duménils).
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| anomalie vraie en rouge et anomalie excentrique en bleu |
La géométrie montre que ces deux angles sont reliés par les relations
tan(v/2) = tan(E/2)*rac((1+e)/(1-e)) et tan(E/2) = tan(v/2)*rac((1-e)/(1+e)).
Ainsi, connaissant une anomalie on sait calculer l'autre.En vertu de la loi des aires, le temps, noté "t", est donné par l'équation transcendante de Kepler où T désigne la période:
t = (T/2pi)*(E - e * sin(E).
Temps écoulé et position du satellite se déduisent donc l'un de l'autre par l'intermédiaire de l'anomalie excentrique.
Connaissant l'anomalie vraie v on peut calculer E puis le temps.
Comme le signale Danloux-Duménils, ces formules s'appliquent encore à la trajectoire hyperbolique en ayant recours aux lignes trigonométriques hyperboliques argth(x)=(1/2)Log((1+x)/(1-x)) et sh(x)=(1/2)(e^x-e^-x) où e est le nombre d'Euler.
On utilise une variable analytique F, analogue à E mais sans signification géométrique, et déterminée par th(F/2) = tan(v/2)*rac((e-1)/(1+e)) et on se réfère à la période du mouvement elliptique dont la longueur de grand axe est la même que celle du mouvement hyperbolique.
Le temps est alors donné par
t = (T/2pi)*(e*sh(F) - F).
L'astronome Jérôme de Lalande (1732/1807) a notamment étudié les comètes et leur trajectoire parabolique. Dans son ouvrage "Abrégé d'Astronomie" paru en 1774, il présente le calcul du temps écoulé à partir de l'anomalie vraie.
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| les propriétés mirifiques de la parabole |
On sait aussi que la sous-normale HN est constante et égale au paramètre, et que la tangente coupe l'axe des x au point T symétrique du point N par rapport au foyer. Il en découle que l'angle en gris de centre N vaut v/2 et que (CH) = p * tan(v/2). Finalement on obtient:
aire(v) = ( p^2 / 12 ) * ( tan(v/2)^3 + 3tan(v/2) )
et la loi des aires qui s'écrit pour la parabole t = 2*aire / rac( Gi * p ) donne:
t = (p^3/2 / (6*rac(Gi) ) ) * ( tan(v/2)^3 + 3tan(v/2) )
La loi des aires détermine encore la vitesse V sur l'orbite en fonction aussi bien du rayon vecteur que de l'anomalie vraie. Le demi grand axe a et l'excentricité e définissent une conique, la période T en découle. Le rayon vecteur r et l'anomalie v sont reliés géométriquement par l'équation générale de la conique: r = a*(1-e^2)/(1 + e*cos(v)) et on a:
V = rac( Gi / a) * rac( 2/r - 1/a) = rac( Gi ) * rac(( 1+e^2+2e*cos(v))/(1-e^2)).
On note que pour deux points de l'orbite symétriques autour du petit axe le produit des vitesses, égal au carré de la vitesse à ses sommets, vaut Gi / a (cette valeur est considérée comme la vitesse "moyenne") et que pour les points de l'une ou l'autre des extrémités du grand axe le produit de la vitesse par le rayon vaut rac(Gi*a*(1-e^2)).On peut encore noter qu'il suffit de connaître en un point de la trajectoire le rayon et le vecteur vitesse pour pouvoir calculer celle-ci.
Les satellites artificiels obéissent à ces lois vis à vis de la terre, comme les planètes vis à vis du soleil.
Mais ils présentent un degré de liberté de moins car, au moment du lancement, ils sont à une distance obligée de R = 6378.14 km du foyer de leur orbite qui est le centre de la terre.
En pratique ils sont généralement propulsés par le lanceur sur une orbite circulaire très basse, de l'ordre de 200km d'altitude, notée "h" avant d'être injectés en une ou plusieurs étapes sur leurs orbites définitives. Le rayon de cette orbite est donc égal à R + h, et la vitesse sur cet orbite circulaire est égale à rac( G* M / ( R +h )) où M est la masse de la terre égale à 5.97364.10^24 kg. Compte tenu de la valeur de G cela s'écrit: V = rac( 398600 / ( R + h )) km/s.
Pour h = 0 le satellite rase la terre et sa vitesse (le minimum) vaut donc Vmih = rac( 398600 / 6 378.14 ) soit 7.9054 km/s. On appelle cette vitesse la première vitesse cosmique (bien qu'elle soit plus terrienne que cosmique!).
Cette vitesse minimum diminue quand l'altitude augmente: à 200 km elle vaut 7.7843 km/s.
Si, à l'altitude h on communique au satellite une vitesse, notée "Vh", perpendiculaire au rayon vecteur et dépassant la première vitesse cosmique, la trajectoire sera une ellipse dont les caractéristiques: apogée et période peuvent s'exprimer en fonction de cette vitesse :
l'apogée vaut ( R + h ) / ( 2 ( Vmih / Vh )^2 - 1 ),
la période 2pi * ( R + h ) * Vmih^2 / ( rac ( 2 * Vmih^2 - Vh^2 )^3 )
et l'excentricité ( Vh / Vmih )^2 - 1.
Ces formules montrent que si la vitesse atteint la valeur critique Vlih = rac( 2 )*Vmih l'apogée tend vers l'infini tout comme la période et l'excentricité vers 1: la trajectoire devient parabolique. Cette vitesse est la vitesse de libération à l'altitude h appelée deuxième vitesse cosmique. Au niveau du sol elle est de 11.18 km/s, à 200 km d'altitude, 11.009 km/s.Une vitesse quasi parabolique a été retenue pour atteindre rapidement la lune tout en comptant sur l'attraction lunaire pour capturer les vaisseaux habités et leur éviter de devenir des planètes...
Pour une vitesse supérieure à la vitesse de libération, la trajectoire est hyperbolique et n'a que peu d'intérêt pour un satellite qui doit rester en contact avec la terre. Par contre de telles trajectoires sont utilisées par les sondes spatiales lancées dans le système solaire sans idée de retour.
La mécanique céleste sert de balance spatiale. Il y faut un système à deux étages: un corps principal très massif gouvernant un corps moyen autour duquel tourne un satellite de masse très faible. C'est le cas par exemple de l’ensemble soleil (masse M), mars (masse m période P demi grand axe a) et deimos ou phobos (masse s période p demi grand axe b).
On écrit la loi du mouvement (mars + deimos) / soleil et celle du mouvement deimos / mars: a^3/P^2 = G(M+m+s)/(4pi^2) et b^3p^2 = G(m+s)/(4pi^2). Ce qui donne
(a/b)^3*(p/P)^2 = (M+m+s)/(m+s) = 1+M/(m+s).
En négligeant la masse du satellite s on a une très bonne approximation du rapport entre masse du soleil et masse de mars, soit 3098710. Ce rapport est de 1047 pour Jupiter et 328900 pour l'ensemble terre-lune.On peut rappeler au sujet des satellites de mars découverts en 1877 que "Gulliver, en ses voyages (J. Swift, 1726), avait appris leur existence, et que Voltaire en reçut confirmation par un astronaute originaire de Sirius, nommé Micromégas (1752)" dixit Danloux-Duménils.
Si le satellite possède une masse non négligeable par rapport à la planète le centre du mouvement est le barycentre des deux corps. C'est le cas de la lune et de la terre puisque le rapport des masses est 1.23 %. La distance terre-lune étant de 383398 km le barycentre est à 4658.5 km du centre de la terre, c'est à dire à une profondeur sous la surface du sol de 1719.6 km, et à 378740 km de celui de la lune. La période théorique du mouvement de l'ensemble est égale à 2pi*rac(383398^3 / (398600*1.0123)) soit 2348180 s ou 27.178 jours. En réalité la lune subit l'attraction solaire et ne se déplace ni dans le plan de l'écliptique ni dans le plan équatorial de la terre: la valeur constatée de sa période est bien 27.322 j.
Arthur C Clarke (1917/2008), écrivain scientifique, auteur notamment de "2001, l'Odyssée de l'Espace", a proposé dès 1945 d'utiliser l'orbite géosynchrone pour y déposer des satellites stationnaires de télécommunications.
Le jour sidéral terrestre étant de 86164.096 s, la troisième loi de Kepler s'écrit: (Rgeo)^3 = 398600*86164.086^2/(4*pi^2) ce qui donne Rgeo = 42164 km. Cet orbite circulaire géosynchrone se situe donc à 35786 km d'altitude, ce qui est considérable et nécessite d'utiliser une orbite de transfert. Le périgée de cette orbite est la somme du rayon terrestre et de l'altitude de l'orbite circulaire très basse (6578.14 km par exemple) et son apogée 42164 km. Son demi grand axe est donc de 24371 km, son excentricité 0.73 et sa période 37863.5 s ou 10h31m4s.
Depuis l'orbite très basse il faut accélérer le satellite pour lui faire prendre l'orbite de transfert puis lorsque l'apogée de celle-ci est atteint l'accélérer de nouveau pour l'injecter sur l'orbite circulaire géosynchrone. Cette procédure est aujourd'hui ultra-classique. Au départ de l'orbite basse de 200 km d'altitude la vitesse qui est de 7.784 km/s doit passer à 10.239 km/s (+2.455 km/s) et à l'arrivée sur l'orbite géosynchrone la vitesse qui n'est plus que de 1.597 km/s doit passer à 3.075 km/s (+1.477 km/s).
Entre la première accélération et la seconde il s'écoule une durée égale à la moitié de la période de l'ellipse de transfert soit 5h15m32s.
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| mise en orbite d'un satellite géostationnaire, vitesse en rouge et temps en bleu en fonction de l'altitude |
Les satellites dont la période est une fraction entière de 86164.096 s présentent l'intérêt qu'ils se retrouvent au même emplacement dans le ciel après un multiple de révolutions.
Le rayon de l'orbite semi-synchrone est égale à 26562 km et l'altitude du satellite est ainsi de 20184 km et sa vitesse de 3.874 km/s, la vitesse au périgée de l'orbite de transfert étant de 9.856 km/s et de 2.441 km/s à l'apogée . Par rapport à l'orbite synchrone on gagne 0.383 km/s (2.072 au lieu de 2.455 soit 15.6 %) pour l'accélération sur l'orbite basse mais seulement 0.044 km/s (1.433 au lieu de 1.477 soit 3 %) pour l'accélération sur l'orbite semi-synchrone.
Ces orbites sont utilisées pour les satellites de géolocalisation mais dans des plans inclinés sur l’écliptique.
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| l'orbite en rouge est géosynchrone, celle en bleu semi-synchrone, en noir la parabole |
En gris est dessinée la trajectoire des Apollo vers la lune et en bleu une trajectoire hyperbolique pour les sondes spatiales quittant la terre.
En vert les orbites très hautes retenues pour le programme américain Vela de surveillance des essais nucléaires sur le globe terrestre dans les années 1970. Un écart de 10 m/s dans la vitesse d'injection, soit 0.1 %, réduit le rayon de l'orbite de 4 000 km soit 3.3 %...
Les orbites dans le plan équatorial présentent pour les pays de latitude élevée l'inconvénient de ne pas desservir l'ensemble de leur territoire. C'est le cas de la Russie. Les scientifiques russes ont donc développé une orbite elliptique semi synchrone fortement inclinée sur l'équateur pour desservir le nord de la Sibérie et de forte excentricité pour que le satellite soit visible pendant la grande majorité de sa révolution. C'est l'orbite Molnya ("éclair" en russe). L'inclinaison retenue est celle qui annule la dérive de la ligne des apsides due au bourrelet équatorial donnée par l'équation 5*cos(i)^2 - 1 = 0 soit 63.435°. Le grand axe vaut 25562 km comme déjà vu. On veut qu'à l'apogée, moment où le satellite va le moins vite, sa trace sur terre se déplace à la vitesse de la terre de façon à optimiser sa visibilité. Tous calculs faits il faut retenir une excentricité égale à 0.7377. Il en découle que le périgée est de 46155 km et le périgée de 6968 km soit une altitude de 590 km qui permet encore d'échapper à la plus grande part de l'effet du frottement de l’atmosphère. La vitesse à l'apogée, là où le satellite est le plus utile, n'est que de 1.50 km/s alors qu'au périgée elle est de 9.97 km/s. Le satellite contourne la terre dans l'hémisphère sud en 54 minutes et reste dans l'hémisphère nord plus de 11 heures sur les 11h58m de sa révolution. Belle illustration de la mécanique céleste!
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| en rouge l'orbite MOLNYA, en bleu l'orbite géo-synchrone, en gris les limites des satellites de géolocalisation |
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| l'orbite MOLNYA de cinq minutes en cinq minutes |
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| la trace des satellites Molnya |
Les satellites de géolocalisation et de surveillance sont d'autant plus performants qu'ils sont plus proches du zénith du lieu à localiser. Un relief accentué ou des obstacles de grande hauteur tels que des immeubles ne sont alors plus une gêne et la qualité est optimale. Mais la plupart des systèmes utilisent des orbites moyennement inclinées sur l'équateur et les latitudes élevées sont donc pénalisées.
Les Russes ont donc développé des orbites géosynchrones elliptiques inclinées : les orbites "tundra".
La trace sur terre d'un tel satellite n'est rien moins qu'un analemme analogue à celui du soleil mais encore plus déformé par une excentricité plus forte (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps"). Cette déformation permet de choisir la zone terrestre où le satellite sera le plus présent, de la même façon que pour l'orbite Molnya.
Les japonais développent en ce moment un tel réseau composé de trois orbites décalées de 120° de façon qu'au moins un satellite soit toujours proche du zénith de Tokyo. C'est le QZSS pour "quasi-zénith satellite system".
Les trois orbites sont inclinées de 41° sur l'équateur (la latitude de Sapporo au nord du Japon est de 43°) et leur excentricité est de 0.07504 avec un périgée de 39000 km et un apogée de 45328 km (soit, évidemment, un demi grand axe de 42164 km).
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| les satellites QZSS |
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| la danse des satellites: ils sont "quasi-géostationnaires"; en bleu clair la sphère de rayon 42164 km |
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| pour chaque satellite l'apogée a lieu au maximum de sa latitude nord et le périgée au maximum de sa latitude sud |
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| la course des satellites vue depuis l'étoile polaire... |
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| les satellites ne se rencontrent pas au point d'inflexion |
Le troisième satellite est alors au plus bas vers le sud.
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| la trace de l'orbite tundra de quart d'heure en quart d'heure |
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| le Japon a-t-il associé l'Australie à ce projet? (crédit JAXA) |
La trace des satellites sur la terre est une variante de la courbe de l'hippopède d'Eudoxe où le cylindre tangent est remplacé par un cône tangent à la sphère (voir à ce sujet l'article du présent blog en date du 06/06/2014 intitulé "l'équation du temps" déjà signalé).
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| une composition |
