Quand les horlogers font mentir le soleil et ses cadrans solaires!
et quand le "jour le plus long" est en réalité le 22 décembre!
Il est vrai que selon Sénèque (-4/65):
"Horam non possum certam tibi dicere: facilius inter philosophos quam inter horologia conveniet".
Dans l’œuvre satirique l'"Apo-coloquint-ose" (pour parodie de apo-thé-ose!), Sénèque évoque ainsi l'heure de la mort violente de l'empereur Claude (-10/54) père adoptif de Néron (37-68), en égratignant les gnomonistes!
Mais les vraies raisons du mensonge du soleil viennent de la terre et de deux caractéristiques de son chemin dans l'espace: son orbite elliptique autour du soleil est parcourue selon la loi des aires et son axe de rotation n'est pas perpendiculaire au plan de l'orbite. C'est le cas de toutes les planètes d'ailleurs, même sûrement les exo...
Combien de critiques ont pu ainsi être faites, à tort, aux gnomonistes, avant Kepler et ses ellipses et avant le "Longitude Act" qui lance, en 1714, le défi du calcul de la longitude en mer. Ce défi, qui deviendra celui de l'extrême précision des horloges embarquées, sera relevé en plusieurs étapes, de 1749 à 1775, par l'anglais Harrison (1693-1776) avec la "H5", montre précise au tiers de seconde par jour.
Les philosophes n'ont pas fait autant de progrès dans leurs débats...
L'écliptique, incliné sur le plan de l'équateur céleste, tourne autour de l'axe des pôles de la terre. Le soleil parcourt l'écliptique dans le sens inverse. Supposons d'abord que ces deux mouvements se fassent à vitesse uniforme. La trace du soleil à midi sur la sphère céleste sera alors une courbe en forme de huit gauche. L'ascension droite du soleil, c'est à dire l'arc dessiné en rouge, ne sera égal au temps, l'arc dessiné en bleu, que lors des passages aux équinoxes et aux solstices. L'écart s'appelle la "réduction à l'équateur", sa représentation est un trèfle à 4 feuilles, feuilles rouges pour un écart négatif, vertes pour un écart positif. Par une transformation conchoïdale, c'est à dire en augmentant le rayon polaire d'une quantité constante on peut donner au trèfle une apparence de haricot (!): c'est la courbe en rouge. La réduction à l'équateur est alors la différence entre courbe rouge et cercle noir.
La courbe en forme de huit gauche est celle étudiée pour la première fois par l'astronome Eudoxe (-406/-355) à Cnide, ville de Grande Grèce célèbre pour l'Aphrodite de Praxitèle (-400/-320), elle est appelée hippopède car une entrave de cheval avait cette forme (voir à ce sujet l'excellent site mathcurve.com). C'est l'intersection d'une sphère et d'un cylindre qui lui est tangent ou d'une sphère et d'un cône dont l'axe lui est tangent. Elle a des propriétés étonnantes: ses projections sur les plans de symétrie sont un arc de parabole (en vert), un cercle et une affine de lemniscate de Gérono (1799-1891),en noir, sa projection stéréographique depuis le centre de la sphère est une affine de lemniscate de Bernoulli (1654-1705) en bleu. Pour une obliquité de pi/2 on a la courbe de Viviani (1622-1703) particulièrement extraordinaire...
En réalité, la terre subit la loi des aires et le mouvement du soleil apparent n'est pas uniforme sur l’écliptique. Supposons que le périhélie coïncide avec l'origine du temps, alors l'ensemble de la courbe est déformée par une rotation, témoin de l'amplification symétrique des écarts. On met ainsi en évidence la deuxième composante de l'équation du temps appelée "équation du centre" (au moyen âge on désignait par le mot équation une différence de faible amplitude entre deux quantités). Le trèfle n'en est plus un: deux pétales sont hypertrophiées et deux hypotrophiées, mais elles restent symétriques, et le haricot est encore plus étranglé et de façon asymétrique.
Mais le périhélie ne coïncide pas avec le point gamma. Le décalage introduit une déformation supplémentaire: quand le soleil est au dessus de l'équateur, l'épaisseur de la boucle est réduite alors qu'elle est amplifiée lorsque le soleil est au dessous. Les quatre pétales du trèfle sont inégales et le haricot "accuse le coup".
La courbe rouge dessinée depuis le début n'est autre que la came qu'utilisent les constructeurs de montres pour mouvoir l'aiguille qui donne l'équation du temps, comme l'indique le cadran du haut à droite.
L'équation (au sens moderne) de la réduction à l'équateur est: r = arctan(cos(oblicité)xtan(t))-t. Celle de l'équation du centre est transcendante. Si on limite chacune de ces deux équations au premier terme de leur développement limité, les courbes algébriques donnent des courbes connues: le quadrifolium et le limaçon d'Etienne Pascal (1588-1651). Durant le processus croissant de transformation conchoïdale, le limaçon passe par la cardioïde et le quadrifolium par le double oeuf de Clairaut (1713-1765). Ces courbes apparaissent sous le cadran.
Les intersections de la courbe rouge de l'équation du temps avec le cercle en pointillé noir donnent les 4 jours de l'année pour lesquels le soleil est en concordance avec l'horloge (équation nulle).
La courbe en jaune foncé donne l'écart entre 24h et le temps mis par le soleil pour revenir le lendemain à midi: c'est la vraie durée du jour. Cette information, contrairement à l'équation du temps qui ne peut que difficilement être appréhendée, serait facilement contrôlable par le propriétaire d'une montre qui la présenterait, comme ici en jaune foncé sur le cadran du haut.
C'est l'importance et le signe de cet écart qui règle la variation de l'équation du temps. Les intersections de cette courbe avec le cercle en pointillé noir donnent les 4 jours de l'année pour lesquels le soleil "tourne" en exactement 24h. Ces jours sont des maxima et minima pour l'équation du temps.
La courbe en rouge donne les valeurs de l'équation du temps et les dates qui caractérisent son évolution. Au milieu de la figure, en bleu l'incidence de la réduction à l'équateur dont la période est de 6 mois et en gris celle de l'équation du centre de période annuelle. En bas l'écart entre la durée réelle du jour et la moyenne de 24h00m00s et ses 2 composantes.
L'effet saisonnier de l'obliquité de l'écliptique est largement prépondérant par rapport à celui de la loi des aires. Cette loi, qui retrace la vitesse de la terre autour du soleil, ne fait qu'amplifier d'un tiers la paresse d'Apollon au solstice d'hiver et la diminuer dans la même proportion au solstice d'été, elle est sans effet notable aux équinoxes.
Autres représentations, en huit, de l'équation du temps , l'analemme, et de la durée du jour, en croissant.
Le jour du printemps, le soleil est en retard de 17.7 m et ce retard diminue jusqu'à s'annuler le 15/04: ce jour là le soleil est à l'heure: le cadran solaire est juste. Mais ensuite l'astre du jour prend de l'avance, cette avance passe par un maximum de 3.6 m le 14/05: alors la durée du jour est de 24h exactement.
L'avance diminue ensuite jusqu'à s'annuler le 13/06: le soleil est à nouveau à l'heure mais dès le lendemain il prend du retard, un retard qui croît jusqu'à un maximum de 6.4 m atteint le 26/07, jour de durée égale à 24h exactement.
Ce retard se réduit alors et s'annule le 1/09, troisième jour pour lequel le cadran solaire est juste. Jusqu'à Noël, le soleil va alors être en avance, cette avance passant par un maximum absolu de 16.4m le 3/11. Ce jour là, qui dure exactement 24h, à midi local à Sion le soleil est déjà 4.5° à l'est du méridien plein sud! L'avance du soleil diminue ensuite car les jours rallongent de plus en plus depuis le 17/09 jour le plus court de l'année (23h59m38.6 s) : le 22 décembre est le jour le plus long de l'année: 24h00m29.8s.
Le 25 décembre le soleil est à l'heure pour la quatrième et dernière fois de l'année. Jusqu'au printemps il sera en retard avec un maximum de 14.2 m le 14/02, quatrième et dernière date pour laquelle la durée du jour est 86400 s.
La loi des aires induit une modification des dates pour lesquelles ont lieu les levers de soleil les plus matinaux et les couchers les plus tardifs: elles ne correspondent plus aux solstices.
C'est ainsi que le lever de soleil le plus matinal a lieu le 15 juin et le plus tardif le 1er janvier.
Le coucher de soleil le plus tardif a lieu le 26 juin et le moins tardif le 11 décembre.
Les courbes des figures ci-dessus donnent l'heure légale des levers et couchers dans 3 villes européennes.
L'Europe connaît une heure légale identique depuis la Serbie jusqu'à l'Espagne alors que l'écart de longitude dépasse 30°, soit 2 heures. Ceci a pour conséquence un décalage important dans le rythme de vie des nationaux, décalage accentué en été avec le changement d'heure depuis le dernier dimanche de mars jusqu'au dernier dimanche d'octobre. Ainsi, le 26 juin, la matinée, jusqu'à midi, ne dure que la moitié de l'après-midi à Saint Jacques de Compostelle, alors qu'à Belgrade l'écart entre matinée et après-midi n'est que d'un peu plus d'une heure.
Le pèlerin serbe devra adapter son horloge biologique au cours de son pèlerinage!
La planète mars ressemble beaucoup à la terre dans certaines de ses caractéristiques orbitales: l'obliquité est de 25.2° (23.4° pour la terre), sa rotation dure 24.623 h (on appelle le jour martien: "sol"). Mars étant plus éloignée du soleil, l'année dure 686.96 jours terrestres soit 668.58 sols (sur mars, une année sur deux est bissextile!).
L'effet de la réduction à l'équateur est donc analogue à ce qui se passe sur la terre.
Le périhélie de l'orbite, par rapport au point gamma martien, se trouve, comme sur la terre, au voisinage du solstice d'hiver. Par contre, l'excentricité est plus de 5 fois plus forte: 0.0934 pour 0.0167. L'effet de l'équation du centre est donc considérable.
En conséquence l'analemme de mars ne présente pas une forme en huit: l'équation du centre déforme le huit de la réduction à l'équateur à tel point qu'il en résulte une courbe convexe.
La came des horlogers martiens ne présente qu'un seul creux. Les maxima de l'équation du temps sont +51 m de sol et -40 m de sol et les durées du sol vont de -22 s de sol à +41 s de sol.
Pour une certaine position du périhélie, l'analemme présente une forme intermédiaire avec un point de rebroussement. Pour la terre cela ne se produirait que pour une excentricité de 0.049.
Une autre conséquence de la forte excentricité et de la position du périhélie concerne la durée des saisons. Les saisons chaudes dans l'hémisphère nord durent 56% de l'année: printemps 193 sols (29%) et l'été 179 sols (27%). La température sur mars cependant n'est jamais positive!
Les philosophes n'ont pas fait autant de progrès dans leurs débats...
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| courbe en huit d'un soleil uniforme |
L'écliptique, incliné sur le plan de l'équateur céleste, tourne autour de l'axe des pôles de la terre. Le soleil parcourt l'écliptique dans le sens inverse. Supposons d'abord que ces deux mouvements se fassent à vitesse uniforme. La trace du soleil à midi sur la sphère céleste sera alors une courbe en forme de huit gauche. L'ascension droite du soleil, c'est à dire l'arc dessiné en rouge, ne sera égal au temps, l'arc dessiné en bleu, que lors des passages aux équinoxes et aux solstices. L'écart s'appelle la "réduction à l'équateur", sa représentation est un trèfle à 4 feuilles, feuilles rouges pour un écart négatif, vertes pour un écart positif. Par une transformation conchoïdale, c'est à dire en augmentant le rayon polaire d'une quantité constante on peut donner au trèfle une apparence de haricot (!): c'est la courbe en rouge. La réduction à l'équateur est alors la différence entre courbe rouge et cercle noir.
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| l'hippopède d'Eudoxe de Cnide |
La courbe en forme de huit gauche est celle étudiée pour la première fois par l'astronome Eudoxe (-406/-355) à Cnide, ville de Grande Grèce célèbre pour l'Aphrodite de Praxitèle (-400/-320), elle est appelée hippopède car une entrave de cheval avait cette forme (voir à ce sujet l'excellent site mathcurve.com). C'est l'intersection d'une sphère et d'un cylindre qui lui est tangent ou d'une sphère et d'un cône dont l'axe lui est tangent. Elle a des propriétés étonnantes: ses projections sur les plans de symétrie sont un arc de parabole (en vert), un cercle et une affine de lemniscate de Gérono (1799-1891),en noir, sa projection stéréographique depuis le centre de la sphère est une affine de lemniscate de Bernoulli (1654-1705) en bleu. Pour une obliquité de pi/2 on a la courbe de Viviani (1622-1703) particulièrement extraordinaire...
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| conséquence de la loi des aires: rotation du huit |
En réalité, la terre subit la loi des aires et le mouvement du soleil apparent n'est pas uniforme sur l’écliptique. Supposons que le périhélie coïncide avec l'origine du temps, alors l'ensemble de la courbe est déformée par une rotation, témoin de l'amplification symétrique des écarts. On met ainsi en évidence la deuxième composante de l'équation du temps appelée "équation du centre" (au moyen âge on désignait par le mot équation une différence de faible amplitude entre deux quantités). Le trèfle n'en est plus un: deux pétales sont hypertrophiées et deux hypotrophiées, mais elles restent symétriques, et le haricot est encore plus étranglé et de façon asymétrique.
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| l'équation du temps |
Mais le périhélie ne coïncide pas avec le point gamma. Le décalage introduit une déformation supplémentaire: quand le soleil est au dessus de l'équateur, l'épaisseur de la boucle est réduite alors qu'elle est amplifiée lorsque le soleil est au dessous. Les quatre pétales du trèfle sont inégales et le haricot "accuse le coup".
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| l'équation du temps comme l'aiment les horlogers |
L'équation (au sens moderne) de la réduction à l'équateur est: r = arctan(cos(oblicité)xtan(t))-t. Celle de l'équation du centre est transcendante. Si on limite chacune de ces deux équations au premier terme de leur développement limité, les courbes algébriques donnent des courbes connues: le quadrifolium et le limaçon d'Etienne Pascal (1588-1651). Durant le processus croissant de transformation conchoïdale, le limaçon passe par la cardioïde et le quadrifolium par le double oeuf de Clairaut (1713-1765). Ces courbes apparaissent sous le cadran.
Les intersections de la courbe rouge de l'équation du temps avec le cercle en pointillé noir donnent les 4 jours de l'année pour lesquels le soleil est en concordance avec l'horloge (équation nulle).
La courbe en jaune foncé donne l'écart entre 24h et le temps mis par le soleil pour revenir le lendemain à midi: c'est la vraie durée du jour. Cette information, contrairement à l'équation du temps qui ne peut que difficilement être appréhendée, serait facilement contrôlable par le propriétaire d'une montre qui la présenterait, comme ici en jaune foncé sur le cadran du haut.
C'est l'importance et le signe de cet écart qui règle la variation de l'équation du temps. Les intersections de cette courbe avec le cercle en pointillé noir donnent les 4 jours de l'année pour lesquels le soleil "tourne" en exactement 24h. Ces jours sont des maxima et minima pour l'équation du temps.
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| équation, ses composantes, durée du jour |
La courbe en rouge donne les valeurs de l'équation du temps et les dates qui caractérisent son évolution. Au milieu de la figure, en bleu l'incidence de la réduction à l'équateur dont la période est de 6 mois et en gris celle de l'équation du centre de période annuelle. En bas l'écart entre la durée réelle du jour et la moyenne de 24h00m00s et ses 2 composantes.
L'effet saisonnier de l'obliquité de l'écliptique est largement prépondérant par rapport à celui de la loi des aires. Cette loi, qui retrace la vitesse de la terre autour du soleil, ne fait qu'amplifier d'un tiers la paresse d'Apollon au solstice d'hiver et la diminuer dans la même proportion au solstice d'été, elle est sans effet notable aux équinoxes.
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| analemme et croisant |
Le jour du printemps, le soleil est en retard de 17.7 m et ce retard diminue jusqu'à s'annuler le 15/04: ce jour là le soleil est à l'heure: le cadran solaire est juste. Mais ensuite l'astre du jour prend de l'avance, cette avance passe par un maximum de 3.6 m le 14/05: alors la durée du jour est de 24h exactement.
L'avance diminue ensuite jusqu'à s'annuler le 13/06: le soleil est à nouveau à l'heure mais dès le lendemain il prend du retard, un retard qui croît jusqu'à un maximum de 6.4 m atteint le 26/07, jour de durée égale à 24h exactement.
Ce retard se réduit alors et s'annule le 1/09, troisième jour pour lequel le cadran solaire est juste. Jusqu'à Noël, le soleil va alors être en avance, cette avance passant par un maximum absolu de 16.4m le 3/11. Ce jour là, qui dure exactement 24h, à midi local à Sion le soleil est déjà 4.5° à l'est du méridien plein sud! L'avance du soleil diminue ensuite car les jours rallongent de plus en plus depuis le 17/09 jour le plus court de l'année (23h59m38.6 s) : le 22 décembre est le jour le plus long de l'année: 24h00m29.8s.
Le 25 décembre le soleil est à l'heure pour la quatrième et dernière fois de l'année. Jusqu'au printemps il sera en retard avec un maximum de 14.2 m le 14/02, quatrième et dernière date pour laquelle la durée du jour est 86400 s.
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| heures légale et naturelle proches |
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| matinées raccourcies |
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| repas très tardifs |
C'est ainsi que le lever de soleil le plus matinal a lieu le 15 juin et le plus tardif le 1er janvier.
Le coucher de soleil le plus tardif a lieu le 26 juin et le moins tardif le 11 décembre.
Les courbes des figures ci-dessus donnent l'heure légale des levers et couchers dans 3 villes européennes.
L'Europe connaît une heure légale identique depuis la Serbie jusqu'à l'Espagne alors que l'écart de longitude dépasse 30°, soit 2 heures. Ceci a pour conséquence un décalage important dans le rythme de vie des nationaux, décalage accentué en été avec le changement d'heure depuis le dernier dimanche de mars jusqu'au dernier dimanche d'octobre. Ainsi, le 26 juin, la matinée, jusqu'à midi, ne dure que la moitié de l'après-midi à Saint Jacques de Compostelle, alors qu'à Belgrade l'écart entre matinée et après-midi n'est que d'un peu plus d'une heure.
Le pèlerin serbe devra adapter son horloge biologique au cours de son pèlerinage!
La planète mars ressemble beaucoup à la terre dans certaines de ses caractéristiques orbitales: l'obliquité est de 25.2° (23.4° pour la terre), sa rotation dure 24.623 h (on appelle le jour martien: "sol"). Mars étant plus éloignée du soleil, l'année dure 686.96 jours terrestres soit 668.58 sols (sur mars, une année sur deux est bissextile!).
L'effet de la réduction à l'équateur est donc analogue à ce qui se passe sur la terre.
Le périhélie de l'orbite, par rapport au point gamma martien, se trouve, comme sur la terre, au voisinage du solstice d'hiver. Par contre, l'excentricité est plus de 5 fois plus forte: 0.0934 pour 0.0167. L'effet de l'équation du centre est donc considérable.
En conséquence l'analemme de mars ne présente pas une forme en huit: l'équation du centre déforme le huit de la réduction à l'équateur à tel point qu'il en résulte une courbe convexe.
La came des horlogers martiens ne présente qu'un seul creux. Les maxima de l'équation du temps sont +51 m de sol et -40 m de sol et les durées du sol vont de -22 s de sol à +41 s de sol.
Pour une certaine position du périhélie, l'analemme présente une forme intermédiaire avec un point de rebroussement. Pour la terre cela ne se produirait que pour une excentricité de 0.049.
Une autre conséquence de la forte excentricité et de la position du périhélie concerne la durée des saisons. Les saisons chaudes dans l'hémisphère nord durent 56% de l'année: printemps 193 sols (29%) et l'été 179 sols (27%). La température sur mars cependant n'est jamais positive!
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| la came des horlogers martiens |
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| l'analemme de mars en 2014 et en ? BC |
Et bien, c'est une explication au moins! Et Sénèque le disait déjà: ça tourne pas rond.
RépondreSupprimerTrès belle histoire. Bravo!