l'heure à Babylone, en Italie...et ailleurs

Dans une journée un instant est caractérisé par un décompte à partir d'une origine.
La division de la journée en 12 heures pour le jour et 12 pour la nuit remonte à l'invention de la numération. Ce nombre est tellement bien adapté à une découpe en 2, 3, 4 ou 6 parties!
Mais où fixer le début de la journée?
A Babylone et en Égypte la journée commence au lever du soleil. L'heure vulgaire est alors temporaire, c'est à dire de durée physique variable suivant la saison: le jour, d'une part, et la nuit, d'autre part, sont partagés en douze heures. L'heure savante, mesurée par une clepsydre, est, elle, bien égale à un vingt-quatrième de la journée.
Chez les Grecs et les Romains la journée commence au coucher du soleil.
Pour les astronomes les notions de lever et coucher sont trop vagues: ils retiennent comme origine midi, moment bien précis de la culmination du soleil. Une échelle de dates imaginée par Julius Scaliger (1540-1609) toujours employée de nos jours en astronomie et astronautique a comme origine le 1er janvier de l'année 4713 avant J.C. à 12h.
La norme mondiale fait maintenant commencer la journée civile à minuit, encore que chez les anglo-saxons on parle d'heure ante ou post meridiem!

Depuis l'Antiquité et jusqu'aux horloges à balancier du XVII ème siècle c'est le soleil qui donne l'heure. Le décompte des heures de Babylone ou de Rome figure donc sur les cadrans solaires.
Bien entendu, le soleil (ni aucune étoile) ne se lève (ni ne se couche) au même moment de la journée d'un jour à l'autre. Mais considérons l'"empreinte" de l'horizon sur la sphère céleste à l'instant du lever du soleil un certain jour. A cet instant, selon la saison, il se place à une certaine position sur cette empreinte. Une heure après le lever l'empreinte aura tourné, elle occupera une autre position sur la sphère céleste mais contiendra encore le soleil. Il en sera de même pour tous les astres qui à l'instant du lever se trouvaient sur l'empreinte de départ. Ce serait aussi le cas pour le soleil si sa déclinaison avait été différente. Autrement dit, une heure après son lever, le soleil se trouve toujours sur le grand cercle de la sphère céleste qui porte l'empreinte de départ Sa projection depuis le centre sur un plan quelconque sera toujours située sur celle de ce grand cercle qui est une droite passant par le centre de la sphère.
Sur le cadran solaire l'heure babylonique est donc une droite oblique désignée par le rayon du soleil qui passe par le sommet du style.

le grand cercle de la première heure babylonique et sa projection

Il reste à trouver un procédé pour dessiner ces droites.
A l'équinoxe le soleil se lève à 6h et décrit l'équateur céleste: heure classique et heure babylonique coïncident. Les lignes horaires se croisent donc sur la ligne équinoxiale: voilà un premier point.
Un deuxième point peut être obtenu graphiquement par des procédés relevant de la géométrie descriptive encore enseignée en classes de mathématiques supérieures dans les années 60. Aujourd'hui on peut préférer le calcul trigonométrique d'un point tel que celui correspondant au solstice d'hiver.

L'analyse des propriétés de ces lignes babyloniques donne des résultats remarquables.

cinquième heure babylonique et cadran horizontal

La figure représente la sphère céleste 4 heures après le lever du soleil. Le plan du grand cercle de l'empreinte de l'horizon sur la sphère fait avec l'axe polaire un angle constant égal à la latitude. L'axe du grand cercle perce donc la sphère en un point P qui décrit le cercle dessiné en pointillé bleu. Ce cercle passe par le zénith.
On peut considérer le point P comme un astre et calculer son azimut par la formule classique avec des notations évidentes:
tan(A) = sin(H)/(cos(H)sin(l) - tan(d)cos(l)).
La déclinaison est ici égale à pi/2 - l et on obtient:
tan(A) = sin(H)/(sin(l)(cos(H) - 1)) ou encore tan(A) = sin(H)/(sin(l)(- 2sin^2(H/2))) ce qui s'écrit tan(A) = - cotan(H/2)/sin(l).
L'azimut A' des points C1 et C2 qui caractérise l'heure babylonique diffère de celui du point P de pi/2. On obtient donc la relation
tan(A') = - sin(l)tan(H/2).
Cette formule est celle qui donne l'angle tabulaire d'une ligne horaire sur un cadran horizontal. On a dessiné dans la partie nord de la figure les lignes horaires du cadran horizontal: ces lignes sont parcourues par la droite babylonique à une vitesse égale à la moitié de celle du soleil. On verra plus loin quel parti en tirer.

Le grand cercle "empreinte" de l'horizon au lever du soleil a son réciproque pour le coucher du soleil. Celui du lever évolue de l'est vers l'ouest et, si on compte à rebours le temps qui reste avant le coucher du soleil, l'empreinte relative au coucher évolue de l'ouest vers l'est. Sa projection est la ligne italique.
Les plans des grands cercles des "empreintes" enveloppent un cône dont le sommet est le centre de la sphère, l'axe, celui des pôles et dont le demi angle au sommet est la latitude. Les rayons du soleil tangents à ce cône définissent deux droites. Ces génératrices représentent dans l'espace, à un instant donné, les lignes indiquant l'angle horaire qui sépare cet instant du lever du soleil d'une part et de son coucher d'autre part. Les projections de ces droites sont les lignes des heures babyloniques et italiques.

4ème heure babylonique, la génératrice OT du cône est la ligne babylonique

4ème heure italique, la génératrice OT' du cône est la ligne italique

Les lignes des heures babyloniques et italiques de même valeur sont symétriques les unes des autres par rapport au plan méridien et elles se croisent dans ce plan lors des jours où la durée de l'ensoleillement est un nombre entier d'heures.

vues de dessus, en bleu les lignes babyloniques, en rouge les italiques

La figure ci-dessous présente la projection d'une ligne babylonique sur un plan vertical méridional. La génératrice du cône touche ce plan en K, le rayon solaire passant par l'extrémité du style le touche au point solaire S et, pour le cadran solaire méridional, la ligne babylonique est la droite KS. Cette ligne est tangente à la conique intersection du cône et du cadran. 
La conique est tangente à la ligne de l'horizon et ses caractéristiques se calculent aisément: si h est la longueur du style droit, son grand axe vaut h(tan(2 x l)) et son excentricité tan(l).
C'est une ellipse si la latitude est inférieure à 45° et une hyperbole si elle est supérieure. Pour la latitude 45° c'est une parabole.

ligne babylonique 5 pour cadran vertical méridional

ligne italique 5 pour cadran vertical méridional

Ci-dessous dessin complet:

lignes babyloniques et italiques sur cadran vertical méridional

Le tracé des lignes babyloniques et italiques sur un cadran horizontal est tout à fait semblable. La conique est alors toujours une parabole et chaque ligne est parallèle à une ligne horaire.

 

la sixième ligne babylonique est parallèle à la ligne horaire de 15h

Les cadrans solaires présentant les heures babyloniques et italiques donnent beaucoup d'indications d'ordre astronomique sur la marche du soleil en un lieu donné même si "la plupart des curieux les parcourent du regard en se résignant à ne rien comprendre à la signification de leurs lignes" (René R.J. Rohr Les cadrans solaires Oberlin).

cadran vertical classique, babylonique et italique

Sur le cadran ci-dessus dont la déclinaison gnomonique est de 20° vers l'est on note que les lignes babyloniques bleues et italiques rouges se croisent ensemble et avec les lignes classiques grises à chaque heure ronde. Elles se croisent seules aux demi-heures. Les points de croisement dessinent les arcs diurnes relatifs aux jours où la durée de l'ensoleillement est une valeur entière et paire pour les croisements triples et entière et impaire pour les doubles.
A un instant donné le point solaire indique par interpolation les heures babylonique et italique approchées. On en déduit le temps écoulé depuis le lever du soleil et donc l'heure de son lever et le temps qu'il reste avant son coucher, donc aussi l'heure de son coucher.

une latitude particulière à une vingtaine de km au nord de Paris

Sur le parallèle qui passe une vingtaine de km au nord de Paris les lignes babyloniques et italiques se croisent sur les arcs diurnes des solstices et la durée de l’ensoleillement du jour du solstice d'été est deux fois celle du jour du solstice d'hiver.

Les heures italiques ont été très employées en Europe orientale, notamment à Prague.

château des Lobkowicz à Melnik

 Konrad Rauchfuss dit Dasypodius (1530-1600), mathématicien suisse installé en Alsace, concepteur en 1580 de la seconde horloge astronomique monumentale de la cathédrale de Strasbourg, aurait construit des cadrans pour régler son œuvre...Sur la partie droite les heures babyloniques (ab ortu) et italiques (ab occasu).

cathédrale de Strasbourg, les cadrans de Dasypodius

 Pour mettre en application les propriétés angulaires des lignes babyloniques et italiques on peut construire un cadran dont le style est un double cône axé sur les pôles, les deux cônes ayant un angle au sommet égal au double de la latitude.

double cadran classique, babylonique et italique

Le sommet commun aux deux cônes donne le point solaire à l'entrecroisement des ombres. Ce point donne l'heure normale et les heures babylonique et italique sont désignées par les lignes ombre-soleil.

Sur l'un et l'autre plan figurent les lignes babyloniques en bleu et les italiques en rouge. Les lignes du plan horizontal enveloppent une parabole et celles du plan vertical une hyperbole, la latitude dépassant ici 45°. Les lignes en gris sont les lignes horaires classiques.



Henri Bouasse (1866-1953), bouillant professeur de physique à la Faculté des Sciences de Toulouse auteur d'une Bibliothèque Scientifique en 45 volumes, note en 1918 dans son 44 ème tome "Astronomie théorique et pratique" (dont la préface s'intitule " De la manière d'enseigner les sciences inutiles"!):

"Ils n'auront que mépris pour les cadrans solaires qui ne servent plus, c'est entendu, mais qui, outre leur rôle social évident pendant de longs siècles, sont un excellent exercice pour l'étudiant qui ne se complait pas dans le bafouillage grandiloquent.
Pour Dieu! commencez donc par savoir la théorie des cadrans solaires! Vous parlerez ensuite de l'histoire des doctrines astronomiques, si ça vous amuse!
Commencez donc par le commencement; c'est de beaucoup le plus difficile."

Cité par D. Savoie in Les cadrans solaires, Belin, 2003.

les cadrans solaires analemmatiques

Analemmatique... mais encore?
Un tel cadran est obtenu par analemme, c'est à dire par projection du cadran circulaire équatorial sur un plan et suivant un axe quelconques.
Le cadran équatorial se compose d'un cercle horaire disposé dans le plan de l'équateur céleste et d'un style polaire passant par son centre, parcouru au cours des saisons par le "point efficace" dont l'ombre tombe sur le cercle et y marque l'heure. Le point efficace se déplace entre les deux extrémités du style atteintes aux solstices.

cadran équatorial et point efficace

L'analemme transforme le cercle équatorial en une ellipse (au sens large) qui porte la projection du point horaire. Le style polaire devient un segment sur lequel se trouve la projection du point efficace. Ces deux points et le point efficace déterminent un plan parallèle à l'axe de projection dans lequel se trouve la ligne d'ombre du point efficace. En érigeant alors sur le cadran, depuis la projection du point efficace, un nouveau style parallèle à l'axe de projection on obtient une ligne d'ombre livrant le point horaire.
Ce nouveau style doit être déplacé en fonction de la déclinaison, parallèlement à lui-même.

le nouveau style parallèle à l'axe de projection

C'est très ingénieux et remarquablement fécond: Robert Majendie a montré dans un bel article d'Observations et Travaux (SAF) daté de 1996 que le cadran analemmatique est la mère des cadrans solaires classiques à style.
Les paramètres les plus couramment retenus pour construire ce genre de cadran sont une projection orthogonale sur un plan horizontal: le style est alors vertical et se déplace sur une portion du petit axe de l'ellipse.
Historiquement, M. de Vaulezard, mathématicien français, a publié en 1640 et 1644 un "Traicté ou usage du Quadrant analematique". Mais on s'accorde pour dater de 1506 la plus ancienne réalisation connue d'un cadran analemmatique visible devant l’église de Brou près de Bourg en Bresse. En 1757, l'astronome J.F. de Lalande (1732-1807), né à Bourg en Bresse (!), le fit réparer. Il a encore été remanié en 1902. Ce type de cadran, appelé cadran Lalande, est maintenant devenu le cheval de bataille des aménageurs branchés de jardins. Il en existe notamment un au départ, à 2.200m d'altitude, du très intéressant "chemin des planètes" à l'observatoire de Saint Luc (Valais).

cadran Lalande à Brou, près Bourg en Bresse (Ain)

 

cadran Lalande

Bien entendu des modèles de table ou portatifs ont été construits. Certains associent un analemmatique à un traditionnel, ce qui permet une orientation immédiate par la concordance des indications horaires.

double cadran Lalande et horizontal du catalogue de "Antiquités Delalande" Paris (copyright)

Au lieu de retenir un style mobile se déplaçant par rapport à une ellipse unique on peut fixer le style et dessiner plusieurs ellipses obtenues par translation et formant un abaque de lecture. En associant ce cadran analemmatique à un cadran classique on bénéficie de l'orientation automatique.

double cadran Lalande à style fixe et horizontal

Ce cadran ne doit pas être confondu avec le cadran horizontal orthographique qui résulte de la projection verticale des cercles de déclinaison de la sphère céleste sur un plan horizontal et qui n'est pas un cadran analemmatique car il ne résulte pas de la projection du cercle équatorial, contrairement à ce qui a pu être indiqué...

cadran horizontal orthographique (cadran non analemmatique)

Le cadran Lalande à style fixe peut aussi être transformé en cadran Lalande vertical, il évoque alors une navicula mais n'est pas performant avant 8h ou après 16h:

cadran Lalande vertical à style horizontal fixe

Il en est de même pour le cadran vertical orthographique qui n'est pas analemmatique:

cadran vertical orthographique (non analemmatique)

On peut limiter l'étude des cadrans analemmatiques aux cas où l'axe de la projection est contenu dans le plan méridien nord/sud et où le plan de projection contient l'axe est/ouest car une projection sur un plan déclinant n'apporte pas vraiment d'élément supplémentaire.
Par contre les valeurs relatives de l'inclinaison de l'axe de projection sur l'axe polaire et de l'inclinaison du cadran sur l'équateur céleste déterminent des aspects particuliers de l'ellipse qui peut devenir un cercle ou une droite.
C'est ce qui a été découvert en 1680 par l'anglais Foster puis redécouvert un siècle plus tard en 1777 par l'astronome français Lambert (le cartographe).
En conservant pour le cadran le plan horizontal mais en retenant un axe de projection incliné d'un angle égal à 45° diminué de la moitié de la latitude, l'ellipse devient un cercle et il en est de même si l'angle retenu pour l'axe de projection est égal 135° diminué de la moitié de la latitude.
Dans le premier cas le style est incliné vers le nord et son ombre, vue du sud, tourne dans le sens horaire, dans le second le style est incliné vers le sud et son ombre tourne dans le sens inverse.
Mieux encore, on peut retenir la même échelle de déplacement des styles pour les deux cadrans, alors les deux styles, perpendiculaires entre eux, peuvent être rendus solidaires et le système devient auto-orientable.

cadran circulaire Foster Lambert

Un cadran circulaire est plus facile à construire qu'un elliptique et il présente l'avantage qu'en rendant mobile la graduation horaire autour d'un axe perpendiculaire au cadran on peut lui faire tenir compte de la longitude et du fuseau horaire légal et indiquer ainsi l'heure légale. On peut encore tenir compte de l'équation du temps.
La figure ci-dessous, dessinée sur le plan méridien, permet d'analyser les conditions à remplir pour obtenir un cadran circulaire.

analemmatiques elliptique et circulaire

En bleu épais le cadran elliptique et en bleu maigre le cadran circulaire.
Pour que le cadran soit circulaire il faut et il suffit que l'inclinaison de l'axe de projection sur l'axe polaire soit égale à la moitié de l'inclinaison du cadran sur l'équateur céleste.
Il y a donc une infinité de cadrans circulaires plus ou moins inclinés et ceux de Foster et Lambert, horizontaux, correspondent aux inclinaisons du cadran sur l'équateur égales au complément de la latitude et à ce complément augmenté de 180°.
On peut aussi construire les cadrans circulaires verticaux plein sud. Ils correspondent aux valeurs des horizontaux augmentées de 90°. Ils présentent l'avantage considérable qu'il n'est même plus besoin de rechercher la valeur de la déclinaison du jour pour régler les styles: le réglage est correct dès que les indications des deux cadrans concordent. Un objet mobile à déplacer dans une fente verticale peut être dimensionné suivant les caractéristiques des styles et il devient alors très commode de connaître l'heure. Plusieurs de ces objets mobiles peuvent être taillés selon d'autres valeurs pour la latitude et si on dessine les cercles horaires correspondants on a un cadran universel...

cadran Foster Lambert vertical et ses styles

Une autre valeur particulière donne un cadran circulaire intéressant. Pour une inclinaison du cadran sur l'horizon égale au complément de la latitude, le style est vertical: c'est le cadran conçu en 1975 par G. Taylor et installé à l'observatoire de Greenwich.

cadran analemmatique circulaire à style vertical de Taylor (Herstmonceux)

 

cadran Taylor

René Rohr (1905-2000) présente dans son célèbre ouvrage de référence un autre circulaire correspondant à une inclinaison du cadran sur l'horizon égale à la latitude. Le cadran est alors perpendiculaire au plan équatorial et les deux styles sont inclinés de 45° sur la table du cadran. Le cadran est auto-réglable et les deux ombres se déplacent symétriquement.

 

cadran mentionné par R.Rohr

 
La construction de deux styles permet de s'affranchir de la valeur de la déclinaison et donc de la date. Un procédé mécanique comme une vis sans fin peut permettre alors à tout un chacun de faire coulisser l'ensemble des styles à la bonne place, là où les ombres marquent la même heure.

cadran analemmatique circulaire à inclinaison quelconque

Voici une montre géante dont les aiguilles, grande et petite, dressées vers le ciel, sont immobiles et qui donne cependant l'heure... si le soleil coopère!

Mais un style vertical et l'autre horizontal, n'est-ce pas mieux? et les ellipses ne sont-elles pas plus belles que les cercles?

cadran analemmatique elliptique à styles vertical et horizontal

On peut aussi préférer un style unique perpendiculaire à la table. Pour cela l'angle de l'axe de projection sur l'axe polaire est égal à celui du cadran sur l'équateur céleste: il s'agit d'un cadran de Lalande incliné

cadran elliptique à style unique perpendiculaire

Si l'axe de projection est dans le plan équatorial, le style est lui-même équatorial et l'ellipse est réduite à une droite. De la même façon que pour le cadran Lalande on peut rendre le style fixe et dessiner plusieurs droites de déclinaison. On obtient ainsi des cadrans originaux, par exemple horizontal et vertical. Aux environs des équinoxes ces cadrans ne sont cependant d'aucun secours.

cadran analemmatique horizontal à style équatorial

 

cadran analemmatique vertical à style équatorial

les cadrans de hauteur à style

L'imagination sans limite des spécialistes en cadran solaire permet de répondre à la curiosité et à la demande d'amateurs de toutes sortes, au prix quelquefois d'une certaine approximation. Les objets décrits ci-dessous sollicitent un style au lieu d'un fil vertical.

cadran de berger (ou pyrénéen)

Le cadran de berger, assez rustique, peut être emporté facilement dans sa poche par le gardien du troupeau, qui peut le consulter sans connaître les points cardinaux. En plus, il est particulièrement bien lisible pendant la saison d'estive, d'avril à septembre. Mais il perd sa précision si on s'en sert à la fois en Crau et dans les Alpes du nord...
Sa construction se fait par points calculés avec la fonction tangente. Les spirales ont belle allure et le font un peu ressembler à l'enseigne des barbiers...
On le tient suspendu par son fil, le style horizontal dirigé vers le soleil. L'ombre de l'extrémité du style marque l'heure sur l'abaque.

détail du tableau des ambassadeurs peint par Holbein le Jeune

Une version de table reprend en déroulé les lignes tracées sur le cylindre. Cette sorte d'oriflamme est alors orientée perpendiculairement à la direction du soleil.

cadran de berger, modèle pour salon

Sur ce cadran ont été dessinées deux lignes de 12h, l'une en rouge correspond à la période du solstice d'été au solstice d'hiver et l'autre en bleu à la période inverse. En effet la loi des aires a pour conséquence que, pour des jours symétriques, la valeur de la déclinaison est différente.

Un autre cadran présentant son style horizontal dans la direction du soleil est mentionné par l'amiral Fantoni dans son opus "orologi solari" (il faut souhaiter que la récente réforme de l'orthographe italienne ne soit jamais copiée pour la française...)

cadran Fantoni

Le disque vertical est tourné de telle sorte que la date du jour occupe le point bas puis il est orienté face au soleil. Les lignes calculées sont équivalentes à celles du cadran de berger.

Les lignes horaires de ces cadrans à style horizontal mettent en jeu la fonction tangente de la hauteur, d'où leurs courbes harmonieuses mais difficiles à tracer.

Une idée remarquable a conduit à bâtir les lignes horaires directement sur la valeur de la hauteur sans passer par une fonction trigonométrique. Il faut utiliser pour cela un cylindre étroit, sorte d'anneau , tenu verticalement par un fil. Cet anneau est percé, à une distance angulaire du point de suspension égale à la latitude, d'une lumière (la bien nommée) par laquelle passe le rayon du soleil. Cette lumière remplace le style. Au lever du soleil la tache lumineuse du soleil se trouve au point symétrique de la lumière, puis elle descend à une distance angulaire, mesurée depuis ce point, égale au double de la hauteur du soleil. Ce cadran est appelé anneau de paysan.
Le dessin, en coupe, de l'anneau ressemble à un œil. La rétine en rouge est l'arc utile au solstice d'été et celle en noir au solstice d'hiver.
A l'intérieur de l'anneau on peut graduer les lignes horaires en fonction de la date mais alors on ne gagne rien en facilité d’exécution comme le montre la figure ci-dessous.

anneau de paysan et abaques fonction de la date ou de la déclinaison

Mais si on retient une graduation en fonction linéaire de la déclinaison on obtient des lignes horaires très proches de segments de droite d'où une remarquable facilité d'exécution. Pour 9h on a tracé sur la figure ci-dessus la droite approchée, celle retenue par les constructeurs de tels objets, les véritables courbes étant en vert.
En effet, en raison des particularités de la trigonométrie sphérique (sa magie?), il existe des quasi-relations remarquables entre les valeurs de la hauteur notée h, de la déclinaison notée d et de l'angle horaire noté H. En un lieu de latitude donnée, pour toute valeur de l'angle horaire H on peut calculer la hauteur, notée he, du soleil à ce moment le jour de l'équinoxe. On constate alors que la différence entre h et he est quasiment proportionnelle à la déclinaison: (h-he)/d >< constante. Si, en plus, on calcule la déclinaison notée D du jour pour lequel le lever du soleil intervient au moment de la valeur H de l'angle horaire, alors on constate encore que la hauteur h est quasiment proportionnelle à la somme des déclinaisons d et D : h / (d+D) >< constante et que ces deux constantes sont très voisines.
Voilà qui justifie le tracé de lignes horaires rectilignes puisque l'abaque met précisément en œuvre l'une ou l'autre de ces deux relations équivalentes.
Les coefficients de proportionnalité varient de 1 pour la ligne de midi à 0.72 pour la ligne de 6h. Sur la figure on s'aperçoit bien que la pente des "droites" diminue. Pour la latitude de 47° l'écart entre lignes vraies et droites varie de 1.3% à 5.3% (à 9h) seulement.
Pour concevoir un tel instrument point n'est besoin de pratiquer les fonctions trigonométriques, seulement de connaître les valeurs de la déclinaison au cours de l'année. Ce n'est donc pas étonnant que l'on fasse remonter l'origine de l'anneau de paysan à la Rome Impériale.
Mais l'anneau de paysan a-il été inventé par un paysan, un berger ou un astronome?

anneau de paysan vente privatelot.com

Un autre objet utilise l'ombre rasante d'un style horizontal sur un disque suspendu. On fait alors une hypothèse pour optimiser la précision. La solution retenue, (J.N. Tardy "cadrans solaires"), consiste à faire en sorte que l'objet, pour chaque jour, donne l'heure exacte à 9h. Il suffit pour cela d'adapter le point de suspension.

disque solaire

La fonction donnant la valeur de l'angle de déviation du point de suspension est: arcsin(cosl.cosd.cos(45°)+sinl.sind)-arcsin(cosd.cos(45°)).
C'est une fonction presque linéaire qui donne, pour la latitude 47° , la valeur +18.3°  au solstice d'été et -20.1° au solstice d'hiver.
Il suffit alors de repérer sur le haut du disque le point de suspension à retenir en fonction de la date.
Ensuite le calcul permet de tracer les lignes horaires par point.


 L'hypothèse du calage sur l'instant de 9h peut être mise en œuvre dans une variation élaborée de l'anneau de paysan appelée bague solaire.
On dispose dans l'anneau lui-même une bague coulissante qui permet de donner à la lumière une position variable en fonction de la date.

bague solaire et abaque gravé à l'intérieur

La construction des positions de la lumière pour une date à 9h répond à une formule très simple. L'angle au centre d'un tel point, mesuré depuis le point de base (ici marqué 9h), est égal à 90°+2.h où h est la hauteur du soleil à 9h ce jour-là.
On peut noter qu'à la latitude de 47°, le premier mars à 9h le soleil est à la hauteur de 22.5° et que l'angle au centre vaut alors 90°+45°, soit 135°: la lumière correspondante est donc sur l'horizontale passant par le centre...

L'abaque donnant l'heure peut être construit en joignant les points horaires calculés par des segments de droite ce qui induit un écart assez peu important entre 6h et 10h30. Cet écart semble avoir été négligé par les fabricants puisqu'on trouve des spécimens où l'abaque est réduit à la ligne de l'équinoxe. Il est préférable de calculer par points les courbes, en vert ci-dessus. Et, compte tenu des hypothèses de départ, ce n'est pas un hasard si ces courbes sont voisines de celles du disque solaire.
L'heure de lever du soleil est donnée par l'horizontale passant par la lumière et doit être lue sur l'abaque en vert.
Sur cet abaque est également tracée en violet la ligne donnant les heures de lever et coucher tout au long de l'année, la partie située à gauche de l'abaque peut donc ne pas être tracée.
Cet objet, très répandu par le passé semble-t-il, avec lumière coulissante, reste un bel ensemble gnomonique.
A quand la construction d'une bague de géant posée sur un support orientable?

réplique wikipedia

les cadrans de hauteur trigonométriques

Les horloges solaires portatives ont d'abord pris la forme d'un quadrant avec fil à plomb et perle coulissante. Puis leur perfectionnement a conduit à d'autres formes géométriques mais dans la langue française elles sont devenues des "cadrans". De nos jours on lit l'heure, et bien d'autres paramètres, sur des cadrans circulaires...Du quart on est passé au tout!
Le cadran solaire basé sur la hauteur du soleil présente le grand avantage de ne pas nécessiter la connaissance de la direction du sud. A la Renaissance il a bénéficié des progrès faits dans les mathématiques et particulièrement la trigonométrie.
Les premières approches dans l'analyse de l'influence de la latitude, de la déclinaison et de la hauteur sur l'heure remontent à la Haute Antiquité et ont été rapportées par Ptolémée (90-168) dans le premier Livre de son œuvre "Composition Mathématique" dont le titre est devenu en français l'Almageste, forme arabisée de "la très grande composition".

11 novembre 10h

La figure ci-dessus représente la sphère céleste centrée sur un observateur placé à la latitude de 47° (arc en noir). Le soleil est sous l'équateur céleste et sa déclinaison est négative (arc en vert), sa hauteur est figurée par l'arc en jaune et son azimut par l'arc en bleu. L'angle horaire apparait selon l'arc en rouge, il vaut 30°, soit 2 heures avant midi: il est dix heures. Les valeurs de ces cinq quantités ne sont évidemment pas indépendantes entre elles.
Comment établir leurs relations dans cet environnement en trois dimensions? La solution consiste à revenir à un problème en deux dimensions par le truchement de l'"analemme" processus qui allie un rabattement autour de la verticale et une projection orthogonale sur le plan du méridien.

l'analemme, le rayon du cercle méridien est pris comme unité

Il faut alors faire une sorte de révolution intellectuelle en renonçant à établir des liens directs entre les valeurs des angles mais en imaginant des quantités abstraites qui caractérisent la valeur d'un angle et dont les propriétés vont permettre de découvrir d'abord des relations entre elles puis entre les angles eux-mêmes. Il s'agit des lignes "trigonométriques": sinus, cosinus et tangente. Ces objets mathématiques sont issus des rapports de longueur existant dans un triangle rectangle. Sinus et cosinus sont  reliés par leurs carrés dont la somme vaut l'unité (théorème de Pythagore), la tangente étant le rapport entre sinus et cosinus.
On constate alors que le segment jaune est le sinus de la hauteur (noté sinh), que le vert est le sinus de la déclinaison (noté -sind, la déclinaison étant ici négative) et que le rayon du cercle en pointillé en est le cosinus (noté cosd). La longueur du segment séparant le centre C de ce cercle et la projection du soleil S, est alors égale au produit du cosinus de l'angle horaire, en rouge , (noté cosH), et de cosd: CS = cosH.cosd. Mais ce segment CS se décompose aussi en deux parties, CL et LS, le point L représentant le soleil à son lever. Dans le triangle OLC  le segment CL est égal au produit de la tangente de la latitude (notée tanl) et de -sind, et dans le trapèze ShOL le segment LS est égal au rapport de sinh et du cosinus de la latitude (noté cosl).
Finalement on obtient: cosH.cosd = -sind.tanl + sinh/cosl. ce qui s'écrit aussi:

cosH = (sinh - sinl.sind)/(cosl.cosd) ou bien sinh = cosH.cosl.cosd + sinl.sind

latitude 47°, heure et hauteur du soleil, point d'inflexion

A la Renaissance, ces calculs sont maîtrisés et des cadrans solaires rigoureusement exacts vont être construits.
Au préalable il faut remarquer que la formule donnant le sinus de la hauteur peut s'écrire encore: sinh = (cosH+tanl.tand)*cosl.cosd. L'idée vient alors de construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse serait égale à 1/(cosl.cosd) et un coté à (cosH + tanl.tand). Dans ce triangle la hauteur serait alors l'angle opposé à ce coté.
Ce triangle n'est pas difficile à dessiner pour un mathématicien du XVI ème siècle.

latitude et déclinaison explicitent géométriquement la relation angle horaire/hauteur

  
Sur la figure ci-dessus où le segment OD est pris comme unité, on a EK = 1/cosl et EO = 1/(cosl.cosd), voilà l'hypoténuse. On a aussi OK = tand/cosl, d'où OL = OK.sinl = tand.tanl.
Si donc on trace le cercle de centre O et de rayon EO, à tout point Q sur la droite OL on peut associer le point P intersection de ce cercle avec la verticale issue de Q. Si le segment LQ représente le cosinus de l'angle horaire, le coté OQ du triangle rectangle OQP, égal à (tand.tanl + cosH), est le coté du triangle cherché.
L'angle QPO, en jaune, est alors la hauteur du soleil et, si la direction OP est rendue verticale, le soleil se trouve dan la direction OQ.
Pour matérialiser l'angle horaire il suffit de tracer un cercle de rayon égal à l'unité, centré sur la ligne DL, et de marquer son intersection H avec la droite QP. L'angle horaire est représenté par l'arc HB.

On vient de construire un abaque qui donne, pour une latitude et une déclinaison fixées, l'angle horaire en fonction de la hauteur et inversement.
Quelles sont les propriétés de cet abaque?

déclinaison, hauteur du soleil et angle horaire

Pour une seconde valeur de la déclinaison on obtient les nouveaux points O2 et L2. Si on choisit alors la  même valeur de l'angle horaire on a O2Q2 = O1Q1 et le point P2 obtenu comme ci-dessus se trouve sur la verticale Q1P1.
En construisant donc un cadran solaire de hauteur basé sur cet abaque on obtient des lignes horaires rectilignes et parallèles entre elles.

Il y a une autre façon de construire le triangle conduisant à un autre abaque.

autre approche de l'abaque

On construit de la même façon sur l'axe AD le point L correspondant à la latitude. Les points M et O sont alors obtenus par une rotation d'angle égal à la déclinaison. La longueur du segment OM est bien égale à l'hypoténuse du triangle cherché et celle du segment OL est égale à tand.tanl. Si le point Q est tel que LQ = cosH, le segment OQ égal à (tand.tanl+cosH) est le coté de ce triangle.
Le point P est à l'intersection du cercle de centre O et de rayon OM, et de la verticale passant par Q. La hauteur du soleil est égal à l'angle en jaune.
Les deux constructions sont équivalentes mais elles ont donné vie à deux familles différentes de cadrans solaires.
L'espacement des lignes horaires est régi par la fonction cosinus, ce qui a pour inconvénient qu'elles sont assez resserrées aux environs de midi. C'est là le handicap de ce type de cadran solaire: il n'est guère utilisable entre 10h30 et 13h30!

Mais il est tellement ingénieux! 

Le premier abaque mène directement au cadran de capucin. Il s'agit d'un cadran fonctionnant pour une latitude unique, ce qui permet de limiter les lignes horaires aux cercles horaires qui correspondent aux solstices d'hiver et d'été. Ce tracé lui donne son aspect si caractéristique.

cadran de capucin 13 avril 8h15

Le segment bleu correspondant aux déclinaisons est ajouré et le point d'attache du fil peut être déplacé dans cette fente pour le disposer à la déclinaison de la date. La perle est réglée sur le sommet du bonnet de capucin, puis on vise le soleil.
En plus de donner l'heure de l'instant, le cadran de hauteur indique encore les heures de lever et de coucher du soleil et sa hauteur méridienne (position du fil à midi).

cadran de capucin du catalogue de "Antiquités Delalande" Paris (copyright)

On peut rendre ce cadran universel, c'est à dire utile à toutes les latitudes, en dessinant diverses lignes de latitude et de déclinaison. Il faut alors munir l'objet d'un bras articulé pour placer le point d'attache du fil à l'intersection de la ligne de latitude du lieu et de la ligne de déclinaison de la date.

Une première solution consiste à privilégier le bonnet de capucin en conservant le sommet du bonnet et en limitant les lignes horaires aux arcs correspondant aux solstices pour les latitudes extrêmes du cadran, ici 30° et 60°. Lors des solstices, les arcs décrits par la perle pendant la journée passent par les points marqués 0 et 12, quelle que soit la latitude. Ces points sont symétriques autour de l'horizontale du cadran passant par le sommet du bonnet et à une distance égale à tan(23.4) si l'unité est sa largeur. On parle alors de cadran d'Hartmann.

cadran de capucin universel

Une autre solution est plus facile à tracer. Elle consiste à utiliser un point de réglage de la perle repéré en fonction de la tangente de la latitude. Les lignes des déclinaisons et celles des latitudes sont alors perpendiculaires entre elles mais il n'y a plus de bonnet de capucin! On parle alors du cadran de Petrus Apianus (1495-1552) puisque c'est cet astronome allemand qui l'a décrit et peut-être inventé.

cadran universel d'Apianus

 

Un autre grand astronome allemand Johan Müller (1436-1476) dit Regiomontanus (et encore Jean de Mont-Réal, parce qu'il est né à Königsberg!) a décrit un cadran mettant en œuvre le deuxième abaque.

cadran universel de Regiomontanus

 Le réseau triangulaire des lignes de latitude et de déclinaison, perpendiculaires entre elles, permet, à l'aide du bras articulé, de placer le point de suspension du fil. On repère ensuite sur le coté du cadran la valeur (en bleu) de la déclinaison de la date et on règle ainsi la perle.

Ces cadrans sont des objets scientifiques strictement exacts. Sont-ils trop complexes pour le vulgum pecus ou bien simplement trop austères?
A Venise, La Sérénissime, l'une des principales puissances du monde  économique au XVI ème siècle, apparait un objet nettement plus ludique qui rend presque les mêmes services. Bien sûr, cet objet a la forme d'un navire: il associe symboliquement la conquête de la mer à celle de l'heure. On l'appelle la navicula de Venetiis, la petite nef des vénitiens.

la petite nef des vénitiens donne l'heure

L'ensemble du réseau triangulaire du cadran de Regiomontanus est remplacé par le mât du navire qui est inclinable. On règle son inclinaison sur la déclinaison de la date portée sur la quille. On place le point de suspension de la drisse à la bonne hauteur marquée en latitude sur le mât et on règle la perle sur l'échelle de déclinaison, en bleu, à la poupe. La petite nef est donc un cadran de Regiomontanus découpé et agrémenté d'une proue, d'une poupe et de deux châteaux, avant et arrière, qui portent les pinnules. Cependant l'instrument n'est plus géométriquement exact car après l'inclinaison du mât le point de suspension se trouve plus bas qu'il ne devrait puisqu'il y a eu rotation au lieu de translation. Pour une latitude l et une déclinaison d le déficit est égal à tanl.(1-cosd)/cosd. Cela entraîne un écart qui augmente avec la latitude et avec la hauteur du soleil et qui, de plus, est d'autant plus grande que la déclinaison s'approche de son minimum de -23.4°.

l'écart est maximum à 10h30 (ensuite les cadrans de hauteur ne sont plus performants)

La navicula est donc parfaite aux environs immédiats des équinoxes mais très largement défaillante au solstice d'hiver (une demi- heure à 10h30 à la latitude 47°!).
Cela n'est pas passé inaperçu et il semble que diverses manipulations ont pu être opérées par les constructeurs de ces instruments, sur les repères de déclinaison, pour aboutir à des objets de toute façon imparfaits puisque l’écart dépend de la déclinaison mais aussi de la latitude. On constate même une variation dans le réglage de la perle qui, semble-t-il, comme sur l'exemplaire de musée photographié ci-dessous, pouvait se faire non pas sur la droite de midi mais sur l'arc!

Par contre il parait facile d'apprécier le supplément fictif de latitude à prendre en compte, en imaginant en travers du mât, avant de l'incliner, une vergue horizontale sur la graduation de la latitude.

correction de lecture par un "supplément de latitude"

En tout état de cause, pour les besoins de la vie quotidienne et du commerce, ce qui importe c'est que les instruments des protagonistes soient coordonnés et pour cet usage la petite nef des vénitiens est bien adaptée même si elle ressemble à un astucieux gadget.

navicula, Oronce Fine 1524, musée Poldi Pezzoli Milan