les cadrans de hauteur trigonométriques

Les horloges solaires portatives ont d'abord pris la forme d'un quadrant avec fil à plomb et perle coulissante. Puis leur perfectionnement a conduit à d'autres formes géométriques mais dans la langue française elles sont devenues des "cadrans". De nos jours on lit l'heure, et bien d'autres paramètres, sur des cadrans circulaires...Du quart on est passé au tout!
Le cadran solaire basé sur la hauteur du soleil présente le grand avantage de ne pas nécessiter la connaissance de la direction du sud. A la Renaissance il a bénéficié des progrès faits dans les mathématiques et particulièrement la trigonométrie.
Les premières approches dans l'analyse de l'influence de la latitude, de la déclinaison et de la hauteur sur l'heure remontent à la Haute Antiquité et ont été rapportées par Ptolémée (90-168) dans le premier Livre de son œuvre "Composition Mathématique" dont le titre est devenu en français l'Almageste, forme arabisée de "la très grande composition".

11 novembre 10h

La figure ci-dessus représente la sphère céleste centrée sur un observateur placé à la latitude de 47° (arc en noir). Le soleil est sous l'équateur céleste et sa déclinaison est négative (arc en vert), sa hauteur est figurée par l'arc en jaune et son azimut par l'arc en bleu. L'angle horaire apparait selon l'arc en rouge, il vaut 30°, soit 2 heures avant midi: il est dix heures. Les valeurs de ces cinq quantités ne sont évidemment pas indépendantes entre elles.
Comment établir leurs relations dans cet environnement en trois dimensions? La solution consiste à revenir à un problème en deux dimensions par le truchement de l'"analemme" processus qui allie un rabattement autour de la verticale et une projection orthogonale sur le plan du méridien.

l'analemme, le rayon du cercle méridien est pris comme unité

Il faut alors faire une sorte de révolution intellectuelle en renonçant à établir des liens directs entre les valeurs des angles mais en imaginant des quantités abstraites qui caractérisent la valeur d'un angle et dont les propriétés vont permettre de découvrir d'abord des relations entre elles puis entre les angles eux-mêmes. Il s'agit des lignes "trigonométriques": sinus, cosinus et tangente. Ces objets mathématiques sont issus des rapports de longueur existant dans un triangle rectangle. Sinus et cosinus sont  reliés par leurs carrés dont la somme vaut l'unité (théorème de Pythagore), la tangente étant le rapport entre sinus et cosinus.
On constate alors que le segment jaune est le sinus de la hauteur (noté sinh), que le vert est le sinus de la déclinaison (noté -sind, la déclinaison étant ici négative) et que le rayon du cercle en pointillé en est le cosinus (noté cosd). La longueur du segment séparant le centre C de ce cercle et la projection du soleil S, est alors égale au produit du cosinus de l'angle horaire, en rouge , (noté cosH), et de cosd: CS = cosH.cosd. Mais ce segment CS se décompose aussi en deux parties, CL et LS, le point L représentant le soleil à son lever. Dans le triangle OLC  le segment CL est égal au produit de la tangente de la latitude (notée tanl) et de -sind, et dans le trapèze ShOL le segment LS est égal au rapport de sinh et du cosinus de la latitude (noté cosl).
Finalement on obtient: cosH.cosd = -sind.tanl + sinh/cosl. ce qui s'écrit aussi:

cosH = (sinh - sinl.sind)/(cosl.cosd) ou bien sinh = cosH.cosl.cosd + sinl.sind

latitude 47°, heure et hauteur du soleil, point d'inflexion

A la Renaissance, ces calculs sont maîtrisés et des cadrans solaires rigoureusement exacts vont être construits.
Au préalable il faut remarquer que la formule donnant le sinus de la hauteur peut s'écrire encore: sinh = (cosH+tanl.tand)*cosl.cosd. L'idée vient alors de construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse serait égale à 1/(cosl.cosd) et un coté à (cosH + tanl.tand). Dans ce triangle la hauteur serait alors l'angle opposé à ce coté.
Ce triangle n'est pas difficile à dessiner pour un mathématicien du XVI ème siècle.

latitude et déclinaison explicitent géométriquement la relation angle horaire/hauteur

  
Sur la figure ci-dessus où le segment OD est pris comme unité, on a EK = 1/cosl et EO = 1/(cosl.cosd), voilà l'hypoténuse. On a aussi OK = tand/cosl, d'où OL = OK.sinl = tand.tanl.
Si donc on trace le cercle de centre O et de rayon EO, à tout point Q sur la droite OL on peut associer le point P intersection de ce cercle avec la verticale issue de Q. Si le segment LQ représente le cosinus de l'angle horaire, le coté OQ du triangle rectangle OQP, égal à (tand.tanl + cosH), est le coté du triangle cherché.
L'angle QPO, en jaune, est alors la hauteur du soleil et, si la direction OP est rendue verticale, le soleil se trouve dan la direction OQ.
Pour matérialiser l'angle horaire il suffit de tracer un cercle de rayon égal à l'unité, centré sur la ligne DL, et de marquer son intersection H avec la droite QP. L'angle horaire est représenté par l'arc HB.

On vient de construire un abaque qui donne, pour une latitude et une déclinaison fixées, l'angle horaire en fonction de la hauteur et inversement.
Quelles sont les propriétés de cet abaque?

déclinaison, hauteur du soleil et angle horaire

Pour une seconde valeur de la déclinaison on obtient les nouveaux points O2 et L2. Si on choisit alors la  même valeur de l'angle horaire on a O2Q2 = O1Q1 et le point P2 obtenu comme ci-dessus se trouve sur la verticale Q1P1.
En construisant donc un cadran solaire de hauteur basé sur cet abaque on obtient des lignes horaires rectilignes et parallèles entre elles.

Il y a une autre façon de construire le triangle conduisant à un autre abaque.

autre approche de l'abaque

On construit de la même façon sur l'axe AD le point L correspondant à la latitude. Les points M et O sont alors obtenus par une rotation d'angle égal à la déclinaison. La longueur du segment OM est bien égale à l'hypoténuse du triangle cherché et celle du segment OL est égale à tand.tanl. Si le point Q est tel que LQ = cosH, le segment OQ égal à (tand.tanl+cosH) est le coté de ce triangle.
Le point P est à l'intersection du cercle de centre O et de rayon OM, et de la verticale passant par Q. La hauteur du soleil est égal à l'angle en jaune.
Les deux constructions sont équivalentes mais elles ont donné vie à deux familles différentes de cadrans solaires.
L'espacement des lignes horaires est régi par la fonction cosinus, ce qui a pour inconvénient qu'elles sont assez resserrées aux environs de midi. C'est là le handicap de ce type de cadran solaire: il n'est guère utilisable entre 10h30 et 13h30!

Mais il est tellement ingénieux! 

Le premier abaque mène directement au cadran de capucin. Il s'agit d'un cadran fonctionnant pour une latitude unique, ce qui permet de limiter les lignes horaires aux cercles horaires qui correspondent aux solstices d'hiver et d'été. Ce tracé lui donne son aspect si caractéristique.

cadran de capucin 13 avril 8h15

Le segment bleu correspondant aux déclinaisons est ajouré et le point d'attache du fil peut être déplacé dans cette fente pour le disposer à la déclinaison de la date. La perle est réglée sur le sommet du bonnet de capucin, puis on vise le soleil.
En plus de donner l'heure de l'instant, le cadran de hauteur indique encore les heures de lever et de coucher du soleil et sa hauteur méridienne (position du fil à midi).

cadran de capucin du catalogue de "Antiquités Delalande" Paris (copyright)

On peut rendre ce cadran universel, c'est à dire utile à toutes les latitudes, en dessinant diverses lignes de latitude et de déclinaison. Il faut alors munir l'objet d'un bras articulé pour placer le point d'attache du fil à l'intersection de la ligne de latitude du lieu et de la ligne de déclinaison de la date.

Une première solution consiste à privilégier le bonnet de capucin en conservant le sommet du bonnet et en limitant les lignes horaires aux arcs correspondant aux solstices pour les latitudes extrêmes du cadran, ici 30° et 60°. Lors des solstices, les arcs décrits par la perle pendant la journée passent par les points marqués 0 et 12, quelle que soit la latitude. Ces points sont symétriques autour de l'horizontale du cadran passant par le sommet du bonnet et à une distance égale à tan(23.4) si l'unité est sa largeur. On parle alors de cadran d'Hartmann.

cadran de capucin universel

Une autre solution est plus facile à tracer. Elle consiste à utiliser un point de réglage de la perle repéré en fonction de la tangente de la latitude. Les lignes des déclinaisons et celles des latitudes sont alors perpendiculaires entre elles mais il n'y a plus de bonnet de capucin! On parle alors du cadran de Petrus Apianus (1495-1552) puisque c'est cet astronome allemand qui l'a décrit et peut-être inventé.

cadran universel d'Apianus

 

Un autre grand astronome allemand Johan Müller (1436-1476) dit Regiomontanus (et encore Jean de Mont-Réal, parce qu'il est né à Königsberg!) a décrit un cadran mettant en œuvre le deuxième abaque.

cadran universel de Regiomontanus

 Le réseau triangulaire des lignes de latitude et de déclinaison, perpendiculaires entre elles, permet, à l'aide du bras articulé, de placer le point de suspension du fil. On repère ensuite sur le coté du cadran la valeur (en bleu) de la déclinaison de la date et on règle ainsi la perle.

Ces cadrans sont des objets scientifiques strictement exacts. Sont-ils trop complexes pour le vulgum pecus ou bien simplement trop austères?
A Venise, La Sérénissime, l'une des principales puissances du monde  économique au XVI ème siècle, apparait un objet nettement plus ludique qui rend presque les mêmes services. Bien sûr, cet objet a la forme d'un navire: il associe symboliquement la conquête de la mer à celle de l'heure. On l'appelle la navicula de Venetiis, la petite nef des vénitiens.

la petite nef des vénitiens donne l'heure

L'ensemble du réseau triangulaire du cadran de Regiomontanus est remplacé par le mât du navire qui est inclinable. On règle son inclinaison sur la déclinaison de la date portée sur la quille. On place le point de suspension de la drisse à la bonne hauteur marquée en latitude sur le mât et on règle la perle sur l'échelle de déclinaison, en bleu, à la poupe. La petite nef est donc un cadran de Regiomontanus découpé et agrémenté d'une proue, d'une poupe et de deux châteaux, avant et arrière, qui portent les pinnules. Cependant l'instrument n'est plus géométriquement exact car après l'inclinaison du mât le point de suspension se trouve plus bas qu'il ne devrait puisqu'il y a eu rotation au lieu de translation. Pour une latitude l et une déclinaison d le déficit est égal à tanl.(1-cosd)/cosd. Cela entraîne un écart qui augmente avec la latitude et avec la hauteur du soleil et qui, de plus, est d'autant plus grande que la déclinaison s'approche de son minimum de -23.4°.

l'écart est maximum à 10h30 (ensuite les cadrans de hauteur ne sont plus performants)

La navicula est donc parfaite aux environs immédiats des équinoxes mais très largement défaillante au solstice d'hiver (une demi- heure à 10h30 à la latitude 47°!).
Cela n'est pas passé inaperçu et il semble que diverses manipulations ont pu être opérées par les constructeurs de ces instruments, sur les repères de déclinaison, pour aboutir à des objets de toute façon imparfaits puisque l’écart dépend de la déclinaison mais aussi de la latitude. On constate même une variation dans le réglage de la perle qui, semble-t-il, comme sur l'exemplaire de musée photographié ci-dessous, pouvait se faire non pas sur la droite de midi mais sur l'arc!

Par contre il parait facile d'apprécier le supplément fictif de latitude à prendre en compte, en imaginant en travers du mât, avant de l'incliner, une vergue horizontale sur la graduation de la latitude.

correction de lecture par un "supplément de latitude"

En tout état de cause, pour les besoins de la vie quotidienne et du commerce, ce qui importe c'est que les instruments des protagonistes soient coordonnés et pour cet usage la petite nef des vénitiens est bien adaptée même si elle ressemble à un astucieux gadget.

navicula, Oronce Fine 1524, musée Poldi Pezzoli Milan