les quadrants d'heures classiques (i.e.égales)

Le quadrant d'heures inégales est tellement pratique qu'on l'a vite adapté de façon à connaître l'heure classique. Mais, ce faisant, on a perdu le caractère universel de l'objet: le quadrant doit alors être construit pour une latitude donnée.
Cependant, au prix d'une certaine complication et en abandonnant le quart de disque, on a mis au point des objets universels à latitude réglable: d'abord la "navicula" qui, comme le quadrant, doit son nom à sa forme de petit navire et qui comme lui n'est pas rigoureux, puis les variantes de "capucins" (le nom reprend le dessin de l'objet) mises au point par les astronomes du 15ème siècle et qui, elles, sont rigoureuses puisqu'elles intègrent la formule exacte reliant l'heure à la hauteur du soleil et à la latitude.

La perle du quadrant d'heures inégales est réglée sur le sinus de la hauteur méridienne, c'est à dire sur le cosinus de la différence entre latitude et déclinaison. Pour le quadrant d'heures égales on trace les trois quarts de cercle correspondant, pour la latitude du lieu, aux équinoxes (déclinaison nulle) et aux solstices (déclinaison +/-23.4°) et sur ces arcs on porte les trois points horaires des heures entières classiques. En retenant comme lignes horaires les cercles circonscrits à ces trois points on obtient avec suffisamment de précision un quadrant donnant les heures égales.

quadrant d'heures égales pour la latitude 47°

cercles des lignes horaires et écart avec les véritables lignes en vert

 Les cercles des lignes horaires ne sont pas concourants, à très peu près pour les latitudes élevées, et leurs centres ne sont pas sur un même cercle.

On peut, sur un même quadrant, faire figurer les heures inégales et égales mais pour éviter un chevauchement préjudiciable au confort de lecture, on utilise l'astuce de l'inversion des solstices et de la déclinaison pour les heures égales.

heures égales et inégales 13 avril 8h15

Si on renonce aux heures inégales on peut retenir un autre principe pour le réglage de la perle et utiliser directement une graduation portée sur le bord du cadran.

quadrant d'heures égales avec graduation linéaire de la déclinaison

Avec une graduation linéaire de la déclinaison l'utilisation de cercles pour les lignes horaires reste valable et le quadrant est facile à construire.
On peut replier les deux demi-années de déclinaison positive et négative sur elles-mêmes et obtenir un quadrant donnant plus de précision en automne et hiver.

quadrant replié avec graduation linéaire de la déclinaison

On peut encore pour gagner en précision et en encombrement retenir l'inversion et ne conserver que la plaque utile.

quadrant inversé et réduit à sa partie utile

Une graduation linéaire en jours de calendrier oblige à tracer les lignes horaires par point mais leur forme est très élégante.

quadrant avec graduation linéaire en jours

Ce quadrant se prête bien au pliage,

quadrant replié avec graduation linéaire en jours

et à l'inversion.

quadrant inversé avec graduation linéaire en jours

Mais le summum est atteint avec le quadrant dit du tableau des ambassadeurs peint à Londres en 1533 par l'allemand Holbein le Jeune (1498-1543) pour le diplomate français Dinteville.

Il s'agit d'un quadrant replié pour lequel on revient au réglage de la perle sur la hauteur méridienne. Mais le réglage ne se fait pas sur un demi-cercle mais sur les deux segments de droite joignant les points correspondant aux solstices à celui de l'équinoxe. Les lignes horaires sont des segments de droite.

quadrant du tableau des ambassadeurs avec les vraies lignes horaires en vert

Ce quadrant est une véritable trouvaille car il est remarquablement juste surtout en automne et hiver.
La graduation qui résulte du choix fait par l'inventeur répond à la formule mathématique (avec des notations évidentes): sin(23.4°)/(sin(dec)+ksin(23.4°-dec)) où k est le rapport entre les rayons des quarts de cercle.
Comme pour le quadrant d'heures inégales il est impossible d'analyser par la trigonométrie classique l'écart entre heure lue et heure vraie.
Une figure en 3 dimensions met cet écart en évidence en fonction de la latitude et de la déclinaison:

écart entre heure lue et heure vraie

L'écart est quasiment nul si la déclinaison est négative, il est maximum pour les environs de 9-10h (et14-15h) et il est d'autant plus grand que la latitude est plus faible. Aux latitudes de l'Europe du nord l'écart ne dépasse pas 5m.
Là encore on peut parler de la magie du quadrant du tableau des ambassadeurs!

Musée allemand de Munich

détail du tableau des ambassadeurs, au centre, un peu caché par d'autres instruments astronomiques, le quadrant

Londres, National Gallery, la tache en bas du tableau ne prend sens que s'il est regardé de biais