Un tour en orthodromie

loxodromie:  va en oblique

orthodromie: va tout droit

En géométrie sphérique la droite est un grand cercle: c'est le plus court chemin d'un point à un autre, ce que n'est pas la loxodromie.
Pour dessiner un planisphère, la projection de Mercator (1512-1594) reste une bonne solution, assez facile à mettre en œuvre, mais avec l'inconvénient que les hautes latitudes sont fortement dilatées.
Les loxodromies sont des droites et les grands cercles des courbes très proches de la sinusoïde et que l'on peut construire par points.
L'un de ces grands cercles est le terminateur qui sépare sur la terre le jour de la nuit.
Sa représentation chez Mercator varie suivant la saison puisqu'elle connait son maximum d'aplatissement aux solstices alors qu'aux équinoxes elle est réduite à deux segments verticaux. Cette ligne de partage est dessinée en rouge dans les figures suivantes.

au début de l'hiver la durée de la nuit dépasse celle du jour pour l'hémisphère nord

au voisinage de l'équinoxe il y a une quasi égalité

 

à la fin du printemps les durées sont inversées

 
Au temps de Mercator, le méridien origine était celui du lieu où coïncidaient nord magnétique et nord géographique: au Cap Verd. Le roi Louis XIII, en 1634, avait imposé comme méridien origine celui qui passe à 20° à l'ouest de Paris à l'île de Fer aux Canaries.
La conférence de Washington d'octobre 1884, a décidé, en raison de la suprématie maritime britannique et au grand dam de la France, que le méridien de référence pour l'heure universelle serait celui de Greenwich où se trouve l'observatoire de Londres. En échange de la capitulation française, le Royaume Uni devait se rallier au système métrique mis au point par les savants français en 1799, promesse que la perfide Albion n'a pas tenue...
L'heure GMT (Greenwich Mean Time) et le temps universel (TU) ont cédé la place en 1988 au temps UTC (Temps universel coordonné).

loxodromies, orthodromies, heures solaires mondiales

 Pour quelques destinations est indiquée sur la figure l'heure solaire locale.
Les dessins des grands cercles ressemblent à celui du terminateur. Ils sont plus ou moins dilatés suivant l'importance de la différence de latitude entre l'origine et la destination. Contrairement à ce qu'on lit sur la figure ces arcs de grand cercle représentent des trajets plus courts que les segments de loxodromie!

Le planisphère montre que pour aller de Londres à Wellington (Nouvelle Zélande) il vaut mieux passer par Tokyo. Par contre pour revenir en Europe les itinéraires les plus économiques seront différents si la destination est Rome ou Madrid: pour Rome mieux vaut passer par Singapour alors que pour Madrid il vaut mieux survoler Kampala en Ouganda. Tout cela, bien sûr, sans tenir compte de considérations géopolitiques.
Pour Papeete le mieux est de survoler Los Angeles.

De Londres à New York la différence de distance entre loxodromie (segment en bleu) et orthodromie (arc en vert) atteint 230 km. Cela représente 4% de la distance totale. Au temps du ruban bleu les navires pouvaient donc gagner 4 heures sur les 100 h du voyage. Mais, et c'est la rançon du gain de temps, il faut passer plus au nord que la loxodromie.
Lors de la première traversée du Titanic, en avril 1912, le commandant Edward Smith (1850-1912) a suivi une route qui passe plus au sud, même, que la loxodromie, de façon à éviter les nombreux icebergs qui, ce printemps là, descendaient anormalement vers le sud. Ni lui, ni la White Star Line ne peuvent être taxés d'avoir voulu à tout prix gagner le ruban bleu à la première traversée. L'hiver 1911-1912 avait été particulièrement long et rigoureux en Amérique du Nord et cette vague de froid exceptionnelle pourrait avoir sa part dans l'explication du naufrage du 14 avril 1912 qui fit 1500 noyés (le lieu du naufrage est dessiné sur le planisphère ci dessus).

La géométrie sphérique règlemente l'orthodromie.
La distance angulaire entre deux points de coordonnées (lon1, lat1) et (lon2, lat2) est donnée par la formule classique:
cos(distance) = sin(lat1)sin(lat2)+cos(lat1)cos(lat2)cos(lon2-lon1)
Le cap à suivre au départ, cap0,  est donné par:
tan(cap0) = sin(lon2-lon1)/(tan(lat2)cos(lat1)-sin(lat1)cos(lon2-lon1))
et aussi par: sin(cap0) = cos(lat2)sin(lon2-lon1)/sin(distance)
Il en découle que pour toute destination se trouvant dans l'hémisphère défini par le plan passant par le point de départ et perpendiculaire au méridien du lieu, et par le pôle nord (pour un départ depuis l'hémisphère nord) la direction de départ est tournée vers le nord. Pour tout point du grand cercle intersection de la sphère et du plan ci-dessus, et notamment pour les antipodes, le cap de départ vaut 90°.

en bleu la loxodromie, en vert l'orthodromie

La caractéristique essentielle d'une orthodromie est le vertex c'est à dire le point de plus forte latitude de l'itinéraire. Les coordonnées de ce point, lonV et latV, sont données par:
tan(lonV-lon1) =  1/(tan(cap0)sin(lat1))
cos(latV) = cos(lat1)sin(cap0)
L'équation du grand cercle est, lonA et latA étant les coordonnées du point courant:
tan(latA) = tan(latV).cos(lonA-lonV).
Le cap à suivre au point A est donné par capA = pi - arcsin(cos(latV)/cos(latA)).
On a la relation: sin(capA).cos(latA) = cos(latV) = constante.
Il en résulte qu'en tout point de l'itinéraire, si l'on connait la latitude, le cap à suivre s'en déduit automatiquement.

Avant la mise au point du pilote automatique on a pratiqué la navigation à l'estime. Le terme 'estime' n'a ici rien à voir avec la pratique de la vue de nez ou du doigt mouillé, quoi qu'en disent trop d'auteurs! La technique de l'estime a des bases mathématiques.
Elle permet de calculer une approximation d'une position à partir de la précédente et de la connaissance du chemin parcouru S et de l'angle de route R.
On a recours à l'équation de la loxodromie qui s'écrit: lon2 - lon1 = (lac2 -lac1).tan(R) où lac est la latitude croissante (voir article du mois précédent intitulé 'de la boussole au logarithme: la loxodromie').
L'approximation consiste à remplacer le facteur (lac2 - lac1) par sa dérivée. En appelant lam la moyenne de lat1 et lat2 cette dérivée s'écrit (lat2-lat1)/cos(lam).
Pour la latitude on retient l’approximation: lat2 - lat1 =  S.cos(R).
On obtient alors: lon2 = lon1 + S.sin(R)/cos(lam).
Ce sont là les formules de la navigation à l'estime, valables tant que le chemin parcouru reste faible.
Elles semblent avoir été utilisées de façon empirique dès le moyen âge.

Les cartes utilisables en mer sont des projections de Mercator sur lesquelles ne peuvent figurer les orthodromies.
L’Ingénieur Général Hydrographe de la Marine Alexandre-Pierre Givry (1785-1867) a mis au point une technique pour tracer facilement sur une carte de Mercator une orthodromie approchée, joignant deux points pas trop espacés.
Givry assimile l'arc d’orthodromie dessiné sur la carte Mercator à un arc de cercle. En développant la formule des sinus qui veut que le rapport des sinus des angles de route orthodromique au départ et à l'arrivée soit égal à l'inverse du rapport des cosinus des latitudes, on peut, à l'issue d'une cuisine trigonométrique très 19ème siècle, éliminer ces angles de route.
En appelant C la correction Givry, c'est à dire l'angle à ajouter à la route loxodromique désignée par R, on obtient avec les mêmes notations que ci-dessus, l'égalité suivante:
tan(C) = tan(R).tan((lat2-lat1)/2).tan(lam).
On élimine alors R par la formule de la navigation à l'estime: tan(R) = ((lon2-lon1)/(lat2-lat1)).cos(lam).
Et en faisant l'hypothèse que la différence de latitude reste faible (angle égal à sa tangente), on obtient:
tan(C) = (1/2)(lon2-lon1).sin(lam).

Le résultat est remarquable de simplicité... et d'approximation comme le montre la figure ci-dessous:

en noir l'arc de cercle Givry, en vert l'orthodromie

 Embarquons sur le jet, dessiné en bleu dans les figures ci-dessous, qui part le 25 décembre à 14h de Londres pour Darwin (130.8 E, 12.4 S) en Australie, sans escale (!).

décollage à 14h00 UTC

Au moment du départ il est 22h43 à Darwin et c'est la nuit la plus courte de l'année.
Le vol durera un peu plus de 17h. La distance orthodromique est de 13.850 km et elle permet d'économiser une heure de vol (770 km) sur la distance loxodromique.
La latitude du vertex est de 56.1°, soit 4.6° plus au nord que Londres, le cap de départ sera 63.8° (nord nord-est) et tout au long du voyage on aura l’identité sin(cap).cos(lat) = 0.558.
Il restera au pilote à tenir compte de la dérive due aux vents...

à 14h55 UTC le soleil se couche sur l'avion après 0h55 de vol, à Londres ce sera à 15h48, presqu'une heure plus tard.

 L'avion gagne en latitude et atteint le vertex à la latitude de 56.1° après 2h42 de vol.
La longitude de ce point est de 32.3°E, l'avion passera donc la ligne de l'équateur à la longitude 90 + 32.3 = 122.3°E. A ce moment, en vertu du lien entre cap et latitude, le cap sera égal à la latitude du vertex augmentée de 90°: 146.1°.
Moscou est survolé à 17h07 UTC: il est au sol 19h37.

19h35 UTC l'avion rencontre le méridien de changement de date locale

L'avion retrouve la latitude de Londres aux environs d'Astana capitale du Kazakhstan et minuit arrive avec 4h25 d'avance, autant de temps perdu pour les passagers!

0h15 UTC le soleil se lève sur l'avion, la nuit a duré 9h20, la précédente à Londres avait duré 16h20, il est 6h56 au sol

Après le survol de Hanoï l'avion passera la ligne de l'équateur, à la longitude 122.3°, au dessus de Bornéo, à 5h14 UTC, il sera 13h23 au sol.

atterrissage à 16h02 locales, il est 7h19 à Londres

L'avion parti le 25/12 à 14h, arrive le 26/12 à 16h02 après 17h19 de vol.
Pendant le vol qui a duré 17h19 les passagers ont vécu administrativement 26h02. L'excédent de 8h43 est égal au décalage horaire entre Londres et Darwin.
Le soleil se couchera à Darwin à 18h24, soit 9h39 UTC, c'est à dire une heure et demi après qu'il se soit levé à Londres: nuit et jour sont inversés...

créationnisme et darwinisme

Cercle et hyperbole, trigonométries circulaire et hyperbolique

Cône et coniques

Sur un chapeau tonkinois, cône d'angle au sommet égal à 90°, la trace de l'intersection par un plan qui pivote autour de la droite en noir, tangente au cône, passe de l'ellipse en bleu à l'hyperbole en rouge.
Trois traces sont particulières: le cercle et la parabole en bleu gras et l'hyperbole équilatère en rouge gras.
Apollonius de Perge (-260/-190) s'est consacré à l'étude des coniques dans une somme de huit livres: Éléments des Coniques, ouvrage traduit et publié en 1710 par l'astronome anglais Edmond Halley (1656-1742).
Apollonius, qui évidemment ne connaissait pas l'analyse, a eu recours, pour caractériser les coniques à une comparaison de surfaces. Pour un point de la parabole, courbe qui fait la transition entre ellipses et hyperboles, il construit un rectangle (ci dessous en jaune) dont le petit coté est l'abscisse et dont l'aire est égale à celle du carré (ci dessous en bleu) construit sur l'ordonnée. Il constate alors que le grand coté du rectangle ne varie pas quand il déplace le point sur la parabole et il détermine ainsi l'équation de la parabole: y^2 = x.

pour la parabole le grand coté du rectangle jaune ne varie pas

Il trace alors une ellipse et une hyperbole tangentes en un sommet commun de telle façon qu'elles ne recoupent pas la parabole. Et, puisque pour l'ellipse l'aire du carré est moindre que l'aire de référence du rectangle de la parabole, et que c'est le contraire pour l'hyperbole, il baptise ainsi les coniques: parabole signifie en grec 'comparable', ellipse vient du verbe grec 'manquer' et hyperbole veut dire 'au delà'.
Ces trois termes sont repris avec la même signification pour des figures de rhétorique.
L'équation de la conique générale s'écrit, à un coefficient de proportionnalité près, y^2 = x + k.x^2.
Pour k négatif on a une soustraction par rapport à la parabole: c'est l'ellipse. Si k est positif on a une addition: c'est l'hyperbole. k est le carré du rapport des axes de la conique affecté du bon signe et on note k = (e^2-1) où e est l'excentricité, définie comme le rapport de la distance focale au demi-grand axe.

Au dix-huitième siècle le jésuite vénitien Vincenzo Riccati (1707-1775) cherche à calculer la surface comprise entre l'hyperbole équilatère et ses asymptotes. Il utilise les logarithmes et la propriété de l'hyperbole équilatère qui permet de les représenter puisque la fonction logarithme est l'intégrale de la fonction y = 1/x (voir article précédent sur la loxodromie).

les aires des  surfaces en bleu sont égales

Soit f(x) une fonction quelconque. Pour une valeur donnée de x le logarithme de f(x) est égal à l'aire de la surface en bleu de la figure de droite et aussi, par addition et soustraction, à celle de la figure de gauche.
Soit M le point (x, f(x)) et P le projeté de M sur l'axe de symétrie de l'hyperbole. La droite OP est coupée par les parallèles aux axes orthonormés en deux points dont les distances à l'origine O sont rac(2).f(x) et rac(2)/f(x). La longueur OP est donc égale à (f(x)+1/f(x))/rac(2) et la longueur PM à (f(x)-1/f(x))/rac(2). Les longueurs OP et PM sont les coordonnées du point M dans le système d'axes composé des axes de symétrie de l'hyperbole.
L'aire du triangle OPQ est égale à OP^2/2, celle de la surface délimitée en vert est égale à 1, celle du triangle qui la surmonte est égale à PM^2/2 et on a donc OP^2 - PM^2 = 2.
En procédant à une homothétie de facteur 1/rac(2) on obtient OP^2 - PM^2 = 1. 
C'est par analogie avec le cercle pour lequel on a cost^2 + sint^2 = 1 que Vincenzo Riccati a appelé ces coordonnées, cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique puisque la relation cht^2 - sht^2 = 1 conduit à des formulaires très semblables dans les deux trigonométries circulaire et hyperbolique.

Un choix judicieux de la fonction f(x) va alors donner un sens à la surface en bleu égale à son logarithme: il suffit de retenir la fonction réciproque du logarithme, ce que fera Jean-Henri Lambert (1728-1777), l'inventeur de la projection cartographique Lambert toujours en usage.

On connait la fonction puissance pour des valeurs entières des nombres: 2^2, 2^3, 2^4...qui s'écrit avec les exposants 2, 3, 4...On sait aussi que le logarithme en base 2 de 2^3 est alors égal à 3. En "bouchant les trous" entre les entiers on obtient la fonction réciproque et symétrique du logarithme appelée 'exponentielle' notée exp(x). On note exp(-x) la fonction 1/exp(x).
 

en gris la fonction logarithme, en rouge exp(x), en bleu exp(-x)

 La courbe de la fonction exponentielle recèle des propriétés remarquables: la sous-tangente (segments en rouge et en bleu gras) est constante et égale à 1 ce qui fait que la courbe est aussi celle de sa dérivée et de son intégrale.
Pour la même valeur de x les tangentes aux courbes exp(x) et exp(-x) sont perpendiculaires. Le segment (en jaune) qui joint leur point de concours Y à l’abscisse x a aussi une longueur constante et égale à 1. Le point Y décrit une courbe appelée tractrice car c'est celle que suit un animal attaché par une laisse à son maître lorsque celui-ci se déplace en ligne droite. L'aire de la surface en bleu entre la tractrice et l'axe des abscisses est égale à pi/2 !

En retenant la fonction exponentielle pour la figure hyperbolique étudiée plus haut et en faisant une homothétie on obtient la figure suivante (sur laquelle on peut noter que les quarts de cercle en vert délimitent deux surfaces d'aire égale à sin(2.t).(pi - 2) / 4).

l'aire de la surface en rose est égale à t/2 (celle de la surface en bleu, également)

La figure met en évidence les coordonnées d'un point de l'hyperbole dans le système d'axes composé de ses axes de symétrie. Ces coordonnées sont les fonctions sinus hyperbolique sh(t) = (exp(t)-exp(-t))/2 et cosinus hyperbolique ch(t) = (exp(t)+exp(-t))/2.
Il  y a cependant une différence considérable entre les deux sortes de lignes trigonométriques car les fonctions sh(t) et ch(t) ont des branches infinies.

en rouge les fonctions exp(u) et exp(-u), en vert sh(u) et ch(u); l'aire de la surface grise est le double de u

Ces nouvelles fonctions ne sont pas anecdotiques car elles permettent de calculer facilement de nombreuses intégrales.
Le mathématicien allemand Christoph Gudermann (1798-1852) a laissé son nom à une fonction qui permet de passer facilement d'une trigonométrie à l'autre. Cette fonction, notée gd(x), est l'intégrale de l'inverse du cosinus hyperbolique. Sa réciproque est l'intégrale de l'inverse du cosinus circulaire qui s'écrit aussi ln(tan(pi / 4 + x / 2)). On retrouve ici la formule de la latitude croissante utile pour construire une carte de Mercator (voir article précédent sur la loxodromie).
On appelle gudermannien de v, le réel u tel que sh(v) = tan(u), ce qui s'écrit aussi ch(v) = 1/cos(u). On a alors v = ln(tan(pi/4+u/2)).
La figure ci-dessous montre l'imbrication du cercle et des lignes trigonométriques circulaires, d'une part, avec l'hyperbole équilatère et les lignes hyperboliques d'autre part.

d'après Warusfel, in Dictionnaire Raisonné de Mathématiques, 1966

L'aire du secteur en rouge est égale à u / 2, celle de la surface en bleu à v / 2. On a tan(u / 2) = th(v / 2) = t = segment AK.
Cette figure donne aussi un procédé de construction de l'hyperbole et de sa tangente à partir de la droite BC et de la tangente en C au cercle.

Une autre utilité des recherches de Riccati est constituée par la courbe de la fonction cosinus hyperbolique qui se rencontre souvent dans la nature ou dans le quotidien.
En effet cette courbe appelée "chaînette" est la forme que prend une chaîne ou un fil pesant suspendu entre deux points.

Cette position d’équilibre répartit exactement la tension entre tous les points du fil et donc la minimise. Certains architectes et ingénieurs ont cherché à se rapprocher de la chaînette inversée pour construire des arches, des coupoles ou des dômes.

la chaînette

 Les propriétés de la chaînette sont remarquables. L'abscisse curviligne, ici en rouge, est égale à sh(x) ainsi que sa dérivée et aussi son intégrale, ici en rose. Sa développante est la tractrice. Le rayon de courbure, ici en bleu, est égal à la normale aussi en bleu et leur valeur est le carré de ch(x).

Par ailleurs les lignes trigonométriques hyperboliques interviennent dans certaines géométries non-euclidiennes qui rejettent le cinquième postulat d'Euclide sur l'unicité de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné, notamment celle de Nikolaï Lobatchevski (1792-1856) et Henri Poincaré (1854-1912), appelée géométrie hyperbolique.

Le théorème de Pythagore s'écrit:

en géométrie euclidienne a^2 = b^2 + c^2,

en géométrie sphérique cos(a) = cos(b).cos(c) et

 en géométrie de Lobatchevski ch(a) = ch(b).ch(c).

disque de Poincaré par D.E. Joyce, Clark University, MA

Enfin, la fonction exponentielle a été étendue, de façon très féconde pour la trigonométrie, aux nombres imaginaires en définissant l'exponentielle complexe de l'imaginaire (x + i.y), où i est tel que i^2 = -1:  exp(x + i.y) = exp(x).exp(i.y) = exp(x).(cos(y)+i.sin(y)).
De la formule exp(i.y) = cos(y) + i.sin(y), on tire cos(u) = ch(i.u) et ch(u) = cos(i.u), etc...

En faisant y = pi, on a l'identité d'Euler (1707-1783):

Cette formule n'a aucune signification, mais d'abord elle est exacte, et ensuite elle relie par les opérations fondamentales les nombres-clés des Mathématiques.

Autre présentation, encore plus énigmatique, avec la constante de Gelfond (1906-1968):