Modèlisation des marées océaniques

le Couesnon en sa folie a mis le Mont en Normandie (Chateaubriand)

 La marée, ou plutôt le marnage, peut atteindre, en certains points des côtes, des valeurs impressionnantes: 13 m en Europe dans la baie du Mont Saint Michel et 16 m dans la baie de Fundy en Nouvelle Écosse aux confins du Canada, des États-Unis et de Saint Pierre et Miquelon. Ces records sont dus à des particularités de la côte: en océan ouvert le marnage n'atteint pas un mètre.

Le phénomène induit sur la Terre par la Lune et le Soleil résulte de la loi de la gravitation universelle, établie par Isaac Newton (1703/1727) sur la base des trois lois de Johannes Kepler (1571/1630): deux corps s'attirent entre eux en fonction du produit de leurs masses et de l'inverse du carré de leur distance. Des forces considérables sont ainsi à l’œuvre à la surface de la Terre et l'énergie dépensée est empruntée à la rotation terrestre qui ralentit en conséquence d'environ 2 millisecondes par siècle. L'effet corrélatif sur la Lune correspond à un éloignement d'environ 3,8 cm par année.

Le moulin du Birlot à l'île de Bréhat en Bretagne

Les moulins à marée et les usines marémotrices mettent à profit l'énergie des marées

l'usine marémotrice de la Rance en Bretagne

La Terre subit à la fois l'attraction de la Lune et celle du Soleil. C'est la combinaison des deux qui détermine la marée.

L'écart de distance de l'astre attracteur avec le centre de la Terre d'une part, et avec un point de sa surface d'autre part, caractérise la force de marée en ce point. En désignant par D la distance de l'astre à l'axe de la Terre et par d la distance du point choisi à cet axe on peut calculer la différence d’attraction à partir de la loi de Newton. Au point choisi l'attraction sera K*T*A / (D - d)^2 et au centre de la Terre K*T*A / D^2, A désignant la masse de l'astre, T celle de la Terre, le coefficient K dépendant des unités choisies.

L'écart d'attraction est donc K*T*A (1 / (D - d)^2 - 1 / D^2), soit K*T*A (2d * D - d^2) / (D^2 * (D - d)^2).

Mais la distance d (6378 km au plus) étant très faible relativement à la distance D (356.500 km au moins pour la Lune, 147.100.000  km au moins pour le Soleil), on peut négliger le terme en d^2, assimiler D - d à D et donc écrire que l'écart d'attraction est proportionnel à K*T*A (2d*D / D^4) soit K*T*A (2d / D^3).

La force de marée en un point de la surface de la Terre est donc proportionnelle à la distance de ce point à l'axe terrestre et à la masse de l'astre attracteur et inversement proportionnelle au cube de la distance de cet astre.

Deux corps célestes bien inégaux sont à la manœuvre pour la Terre (l'influence de la planète qui s'approche le plus, Vénus, ne représente que la dix millième partie de celle du Soleil). Le rapport entre les masses du Soleil et de la Lune est de 27.000.000 et celui entre leurs distances de 400. On obtient alors comme écart entre l'attraction induite par la Lune et celle induite par le Soleil en un point quelconque de la Terre: 400^3 / 27.000.000 soit 64.000.000 / 27.000.000 soit 2,4.

Newton, avec les connaissances de l'époque, avait chiffré la marée lunaire à 2,2 fois la marée solaire.

De toute façon, la distance Terre / Lune variant entre 356.500 km et 406.700 km et la distance Terre / Soleil entre 147.100.000 km et 152.100.000 km, le rapport des distances varie entre 326 et 427, ce qui conduit à des valeurs extrêmes du rapport marée lunaire / marée solaire de 1,8 et 2,9.

Au périgée minimum la force de la marée lunaire dépasse de 48% celle à l'apogée maximum. Pour la marée solaire l'écart entre périhélie et aphélie est 10,5%.

 Le critère déterminant de l'importance de la marée lunaire, et donc de la marée totale, est la distance Terre Lune.

 

Dans la suite on s'intéresse à une Terre fictive, sphérique, sans rotation sur elle-même et qui serait entièrement recouverte d'un matériau homogène de très faible viscosité, l'orbite de la Lune se situant dans le plan de l'écliptique. Ces hypothèses permettent d'établir un modèle géométrique utile à la compréhension du phénomène de la marée.

La déformation due à une force de marée donne à la surface de la Terre l'aspect d'un ellipsoïde.

l'ellipsoïde de marée

Soit un point P d'un méridien terrestre repéré par sa latitude notée lat (angle en gris). On a vu plus haut que la force attractive représentée par le segment PE est proportionnelle au segment PA. Or on a là une propriété de l'ellipse d'axes a et b: AP = bcos(lat), AE = acos(lat). D'où PE = (a - b)cos(lat). L'attraction exercée par l'astre attracteur ne dépend que de la latitude et donne ainsi à la surface terrestre la forme d'un ellipsoïde. Dans le référentiel centré au point P, reporté en O, et dont les axes sont l'horizon et la verticale, l'attraction est représentée par le segment OF. En faisant varier la latitude de -pi/2 à +pi/2 le point F décrit un cercle tangent en O à la direction de l'astre.

La force de marée a donc une composante verticale et une composante horizontale valant celle verticale multipliée par la tangente de la latitude.

Toutes ces considérations s'étendent à un espace en trois dimensions. Elles s'appliquent à la Lune attirée par la Terre et qui présente une forme oblongue dans la direction Terre / Lune. La masse de la Lune n'est que 1/81 de celle de la Terre, soit 0.01234567 (!) et l'effet des forces considérables de la marée terrestre sur la Lune a rapidement abouti au blocage de sa rotation sur la valeur de sa révolution orbitale.

 

Plaçons nous au pôle de l'écliptique, notons v l'écart de longitude entre le Soleil et la Lune (ici 66°). Soit un point P de l'équateur déterminé par son angle horaire h mesuré à partir du Soleil, ici 2h20, soit 35°. Il est alors 14h20 en P.

la Terre vue du pôle de l'écliptique

En rouge, la marée lunaire qui varie de 0 à 83, et en bleu la marée solaire qui varie de 0 à 38.

Quand un astre passe au méridien d'un lieu il exerce une attraction maximale alors qu'à son lever ou à son coucher celle-ci s'annule: l'importance de la marée est une notion locale et instantanée qui dépend d'abord de la hauteur de la Lune dans le ciel et, dans une moindre mesure, de celle du Soleil.

Les deux attractions lunaire et solaire s'additionnent en se composant pour donner une résultante et, en 24h, un lieu donné connait une évolution complète.

Si on note aL le grand axe de l'ellipse lunaire, aS le grand axe de l'ellipse solaire et b leur petit axe commun, l'attraction solaire vaut PS = (aS - b)cos(h) et l'attraction lunaire PL = (aL - b)cos(v - h).

Avec nos hypothèses et à l'échelle de la figure, PS vaut 31 et PL 71.

 L'attraction résultante vaut rac(PS^2 +  PL^2 + 2PS*PLcos(v)).

L'angle w que fait le vecteur représentatif de l'attraction résultante avec l'axe solaire est donné par tan(w) = PLsin(v) / (PS + PLcos(v)).

En désignant par k = (aL-b) / (aS-b) le rapport marée lunaire / marée solaire, l'angle horaire pour lequel la direction du vecteur résultant passe par le centre des ellipses est alors donné par l'équation: 

tan(h) = kcos(v - h)sin(v) / (cos(h) + kcos(v - h)cos(v))

Cette équation se simplifie en la relation:

 tan(2h) = ksin(2v)/(1+kcos(2v))

qui donne deux solutions H et H + pi/2, avec les hypothèses faites: 53° et 143°, soit 15h32 et 21h32.

Pour les lieux correspondants à ces valeurs de l'angle horaire, par hypothèse, l'attraction résultante est verticale et l'attraction horizontale nulle: à l'angle horaire 53° correspond la valeur 92 notée A1 et à 143°, la valeur 28 notée A2. Il en est de même pour leurs valeurs symétriques 233° (3h32) et 323° (9h32).

Plaçons nous alors dans le référentiel local:

référentiel local

 

L'attraction solaire est représentée par le vecteur bleu qui fait un angle, en bleu, égal à l'angle horaire h avec la verticale. Le lieu géométrique de l'extrémité de ce vecteur est le cercle en bleu de diamètre "P/38". Le segment "31/88" fait un angle constant égal à v avec ce vecteur, il passe donc par le point fixe K du cercle tel que l'angle avec l'horizontale soit égal à v.

Le même raisonnement s'applique au vecteur en rouge représentant l'attraction lunaire qui passe donc par le point fixe K' . L'extrémité 88 du vecteur représentant l'attraction résultante décrit donc le cercle en noir passant par les points K, 92, K' et 28 avec les coordonnées:

abscisse : (aS - b)cos(h)sin(h) - (aL - b)cos(v - h)sin(v - h) ordonnée : (aS - b)cos(h)^2 + (aL - b)cos(v - h)^2

Le centre C du cercle a pour ordonnée ((aS + aL) / 2) - b et le rayon est égal à (A1 + A2) / 2.

Soit P' le point d'ordonnée A2. Pour la valeur H de l'angle horaire h, l'extrémité du vecteur de l'attraction résultante, verticale, est au point 92. Il en résulte que l'angle en gris clair P'92K' est égal à H et que l'angle P'88K' qui intercepte le même arc sur le cercle noir garde la valeur fixe H. Cet angle P'88K' est composé de l'angle horaire h en bleu et d'un autre angle en gris foncé égal, car alterne/interne, à l'angle 92P'88.

Il en découle que le segment P'88 fait avec l'axe solaire un angle constant égal à H quand l'angle horaire varie. 

Par ailleurs, le segment P'88 de la figure vaut (A1 - A2)cos(H - h).

Ces deux propriétés démontrent que l'extrémité du vecteur de l'attraction résultante décrit une ellipse dont le grand axe vaut b + A1 et le petit b + A2 et dont le grand axe fait avec l'axe solaire l'angle H qui ne dépend que de l'écart de longitude entre la Lune et le Soleil.

Pour la valeur H de l'heure, les forces de marée verticale et résultante sont égales et maximales, pour H + pi/2 elles sont égales et minimales.

le diagramme de la force de marée

En rouge la force de marée lunaire, en bleu celle du Soleil et en noir la force de marée résultante.

Aux lieux du lever et du coucher de la Lune, l'ellipse résultante est tangente à celle du Soleil car l'attraction lunaire s’annule. De la même façon elle est tangente à l'ellipse de la Lune au moment du lever et du coucher du Soleil.

instant de l'attraction horizontale maximale

Pour certaines heures l'extrémité du vecteur de l'attraction résultante se trouve à une extrémité du diamètre horizontal du cercle décrit. L'attraction horizontale atteint alors son maximum 32, la verticale valant 60. Lors des heures où cela se produit, l'angle CP'68 vaut 45° ce qui signifie qu'il y a un écart de 3 heures avec les passages aux sommets de l'ellipse résultante où cette attraction est soit maximale, soit minimale.

attractions verticale, horizontale et globale sur une moitié du globe

forces de marée verticale et horizontale à un instant donné

au premier et au dernier quartier

à la pleine lune et à la nouvelle lune

 

Les Anciens ont forgé le terme syzygie qui signifie "sous le même joug" pour la configuration où Lune et Soleil sont, vis à vis de la Terre, attelés à la même tâche, c'est à dire soit en conjonction soit en opposition.
 

En première approximation on peut représenter l'intensité globale des forces subies par la couche superficielle de la Terre par la différence de volume entre l'ellipsoïde résultant, en noir, et le volume terrestre, en bleu clair.

Si on se limite à ce qui se passe dans le plan perpendiculaire à l'écliptique, l'énergie globale vaut pi((b + A1)(b + A2) - b^2) et le minimum est atteint lors des pleines ou nouvelles lunes. A ces seuls instants il existe des points au repos sur la Terre: ceux situés sur le méridien terminateur: ils voient en toute sérénité le Soleil et la Lune se lever ou se coucher ensemble ou à l'opposé.

à la quadrature la force de marée globale subie par toute la Terre vaut 114% de celle à la nouvelle (ou pleine) lune

 

De la nouvelle (ou pleine) lune à la quadrature l'écart de longitude entre la Lune et le grand axe de l'ellipse résultante passe par un maximum. Celui-ci est atteint pour la valeur notée V qui annule le dénominateur de la formule donnant H, soit cos(2V) = -1 / k et donne ainsi au paramètre H la valeur 45°. Pour cette valeur V, les composantes horizontales des attractions des deux astres sont maximales (et opposées). Au lieu de la Terre où l'angle horaire du Soleil est 45°, soit 3 heures, l'écart angulaire entre Lune et marée résultante atteint son maximum de V - 45°.

pour l'angle horaire 45°, en bleu, les composantes horizontales sont maximales et l'écart angulaire entre Lune et marée résultante est maximal

 

en gris la dérivée, par point, de l'écart angulaire entre Lune et marée résultante

La valeur critique V de l'écart de longitude dépend des hypothèse faites sur l'importance relative des attractions lunaire et solaire, celles-ci donnent ici 58.5°, d'où pour la Lune un angle horaire maximum de -13.5°, soit -54m.

à 15 heures l'écart entre Lune et grand axe commence à diminuer

 

 Les phases de la Lune se succèdent au rythme assez régulier de 29.53 jours. Ainsi, à partir d'une nouvelle lune chaque jour la Lune "remonte " le ciel, en avant du Soleil, de la valeur de 12.2°, ce qui correspond à 49 minutes. A partir de la pleine lune elle rattrape le Soleil au même rythme. Entre deux passages consécutifs au méridien d'un lieu donné il s'écoule donc en moyenne 24heures et 49 minutes.

La figure ci-dessous illustre ce qui se passe pendant cette durée en un lieu où la nouvelle lune se produit à 12h.

Durant 6 heures et 8 minutes la force de marée décroît depuis la valeur maximum de 120 pour atteindre, 8 minutes après le coucher du Soleil, un minimum proche de zéro: 0.1.

La croissance reprend; la Lune se couche à 18h12 et un maximum un peu inférieur à celui du départ, 119.7, est atteint à 0h16, 6 heures et 8 minutes après le minimum.

La diminution reprend (la Lune se trouve à l'opposition à 0h24) et se poursuit jusqu'à 6h24, soit 6 heures et 8 minutes après le maximum, 25 minutes après le coucher du Soleil, jusqu'à un minimum un peu plus élevé que le précédent de 0.7.

L'augmentation reprend alors, la Lune se lève à 6h37, le Soleil passe plein sud à 12h, un maximum un peu inférieur au précédent, 118.8, est atteint à 12h33, six heures et 9 minutes après le minimum.

Entre minima et maxima il s'écoule 6 heures et 8 minutes ce qui conduit à 24 heures et 33 minutes au total.

Après les deux marées hautes et basses, la Lune passe plein sud à 12h49, 16 minutes après la fin du cycle.

La Lune accuse donc bien le retard prévu de 49 minutes, mais pas la marée!

En effet c'est un lieu commun très répandu que d'affirmer que la marée se reproduit avec un retard égal à celui de la Lune! Cela revient à négliger la marée solaire qui intervient pour environ un tiers (entre 25% et 35%) dans le phénomène!

Aux environs de la pleine ou nouvelle lune, le retard de la marée n'est que de 33 minutes car à ce moment, comme le montre la figure précédente, la valeur du paramètre H notée en bleu "soleil / résultante" n'augmente que lentement, en raison de la valeur élevée de la marée solaire, maximum à ces moments.

lors de la pleine (ou nouvelle) lune le retard de la marée n'est que de 33 minutes

En rouge la force résultante, en bleu la seule force verticale. Vue de la Terre, la Lune prend du retard sur le Soleil: elle se couche et se lève plus tard que lui. Les maxima de la force de marée diminuent alors que les minima augmentent. Cela se poursuivra jusqu'au premier quartier pour s'inverser ensuite jusqu'à la pleine lune.

à la quadrature le retard de la marée atteint 94 minutes

A la quadrature la marée solaire s'annule et change de sens, le paramètre H est égal à 90° et le retard de la marée atteint alors 94 minutes. 

Entre minima et maxima il s'écoule 6 heures et 24 minutes, ce qui conduit à 24 heures et 94 minutes au total.

A partir du premier quartier et jusqu'à la pleine lune les maxima vont augmenter et les minima diminuer.

La figure ci-dessous met en évidence l'évolution des composantes de la force de marée, d'une nouvelle lune à la suivante en un point donné.

 

la force de marée pendant une lunaison de 29.5 jours

 

En haut, en bleu, la composante verticale de l'attraction de la Lune et du Soleil. En dessous, en gris, la composante horizontale.

En bas, en rouge, l'intensité de l'attraction résultante (et non pas sa direction). On constate qu'au voisinage de la nouvelle ou de la pleine lune surtout, la composante horizontale a pour effet de rompre la symétrie de cette attraction en accélérant la variation de l'intensité quand elle est faible ou presque nulle et en la ralentissant quand elle est forte ou maximale.

Pour résumer, la marée théorique fictive la plus considérable doit réunir les paramètres suivants: une nouvelle (ou pleine) lune se produisant avec une Lune au périgée extrême de 356.500 km, un jour proche du périhélie (5 janvier), un lieu où il sera midi solaire (ou minuit) à cet instant avec le Soleil (ou la Lune) au zénith.

Le 14 novembre 2020 à 12h la Lune passe à son périgée à 357.837 km seulement de la Terre et 17h plus tard, le lendemain 15 novembre, c'est la nouvelle lune. Les 15 et 16 novembre 2020 il y a donc de grandes marées (coefficient 109 d'après le SHOM). Il faut attendre les pleines lunes des 28 mars, 27 avril et 26 mai et la nouvelle lune du 6 octobre qui se produisent près du périgée pour connaître des coefficients comparables.

En 2020 et 2021 le périgée se rapproche du périhélie et en 2022 il en restera très proche. Il n'en redeviendra très proche que neuf années plus tard, en 2031. Une nouvelle lune se produit le 2 janvier 2022 à 18h35 TU, 24 heures seulement après son passage au périgée, à 359.000 km. Au point du globe terrestre de longitude ouest 97.7° et de latitude sud 23.4° , à cet instant il est midi solaire et Soleil et Lune (celle-ci invisible) se trouvent au zénith.

Les terres émergées les plus proches semblent être l’île de Pâques de longitude ouest 109.4° et de latitude sud 27.1°et les îles Galápagos de longitude ouest 90.6° et de latitude sud 0.7°. Les côtes les plus proches sont péruviennes et chiliennes.

Circonstances exceptionnelles pour un voyage, mais sans garantie...car il n'y a pas qu'au Plat Pays flamand, que certains "rochers ont à jamais le cœur à marée basse"...

 

Les figures qui suivent présentent les positions les plus intéressantes, avec le dessin des marées, de la Terre, de la Lune et du Soleil pour 

la période s'écoulant de la nouvelle lune du 21 juin 2020 (éclipse annulaire de Soleil) à la pleine lune du 5 juillet 2020 (éclipse de Lune par la pénombre).

 

21 juin 2020 6h40 TU, nouvelle lune et éclipse de Soleil

La Lune est passée au nœud ascendant de son orbite seulement 3 heures avant l'alignement Soleil/Lune/Terre, sa latitude est donc faiblement positive et l'éclipse peut être observée dans l'hémisphère nord aux latitudes peu élevées.

L'éclipse est annulaire car, à la fois, la Lune entre apogée et périgée se tient à une distance moyenne de 387.900 km et la Terre, proche de son aphélie du 4 juillet, donc plutôt loin du Soleil se trouve à 152.031.400 km de lui. Le diamètre apparent du Soleil, 31.5', dépasse de 2% celui de la Lune, 30.8'.

La marée est moyenne/supérieure.

Au moment des éclipses les marées atteignent de grands coefficients puisque les deux phénomènes ont un opérateur commun: la Lune.

 

24 juin 2020 14h45 TU, la Lune passe au méridien de Greenwich

 

25 juin 2020 15h38 TU, la Lune passe au méridien de Greenwich

Entre les deux passages consécutifs de la Lune au méridien de Greenwich, il s'est écoulé 24 heures et 53 minutes.

Cet écart de 53 minutes correspond au déplacement de la Lune sur son orbite entre deux passages au méridien, écart plus ou moins important selon qu'elle se trouve loin ou près de son périgée.

28 juin 2020 8h TU, premier quartier

5 juillet 2020 4h58 TU, pleine lune et éclipse par la pénombre

La Lune est passé la veille, 4 juillet à 3h TU, au nœud descendant de son orbite et sa latitude négative vaut -1.3° ce qui la fait échapper à l'ombre elle-même de la Terre.

La demi lunaison du 21 juin au 5 juillet a duré 13 jours et 22 heures ce qui est bien moindre que la moyenne de 14 jours et 18 heures (29.53 / 2), ceci parce que la Lune a traversé le périgée le 30 juin ce qui lui confère un déplacement rapide. Pendant ce délai la longitude du Soleil a progressé de 13.3 degrés ce qui est moindre que la moyenne de 13.7 degrés, ceci parce que la Terre a traversé l'aphélie le 4 juillet là où son déplacement est moins rapide.

La marée est moyenne/supérieure comme lors de la nouvelle lune.

 

 

les marées dans la réalité vue par les satellites

 

Le modèle des marées développé plus haut doit évidemment être sensiblement affiné parce que l'orbite de la Lune est incliné sur l'écliptique et pour tenir compte de la rotation de la Terre, de l'inclinaison de son axe de rotation, de la latitude du lieu, de la disposition, de l’épaisseur et de la viscosité différentielles des matériaux composant la couche superficielle.

On peut cependant considérer que l'inclinaison de l'orbite lunaire ne remet pas fondamentalement en cause les résultats obtenus.

La rotation de la Terre autour d'un axe incliné semble être la cause d'un accroissement de la marée en période d'équinoxe parce qu'alors la force centrifuge terrestre est le plus colinéaire avec les forces de marée ce qui les renforce.

La viscosité des eaux, surtout si elles sont peu profondes, entraîne un retard du "bourrelet" de marée par rapport à la direction de la Lune et un décalage de l'heure de la marée par rapport à l'angle horaire de la Lune.

Quant au découpage des côtes qui génère des phénomènes ondulatoires, à lui seul, il interdit toute théorie d'ensemble précise.

 

la Terre dans le viseur de la Lune, NASA mission Apollo